Номер 10.2, страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 10. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 10.2, страница 111.

Условие.

10.2. Решите уравнение:

1) $x^2 - 6x + y^2 + 4y + 13 = 0;$

2) $x^2 + 2xy + 10y^2 - 12y + 4 = 0;$

3) $\sqrt{x-1} = \sqrt{-y^2(y+1)^2};$

4) $x^2 + \sqrt{y^2+1} = 1.$

Решение.

1) $x^2 - 6x + y^2 + 4y + 13 = 0$

Для решения этого уравнения сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$ и выделим полные квадраты.

$(x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) + 13 = 0$

Чтобы выделить полный квадрат для $x$, добавим и вычтем $(\frac{6}{2})^2 = 3^2 = 9$.

Чтобы выделить полный квадрат для $y$, добавим и вычтем $(\frac{4}{2})^2 = 2^2 = 4$.

$(x^2 - 6x + 9) - 9 + (y^2 + 4y + 4) - 4 + 13 = 0$

Теперь свернем полные квадраты:

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 - 9 - 4 + 13 = 0$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 - 13 + 13 = 0$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 0$

Сумма двух неотрицательных выражений ($(x - 3)^2 \ge 0$ и $(y + 2)^2 \ge 0$) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих выражений равно нулю.

Следовательно, мы получаем систему уравнений:

$\begin{cases} (x - 3)^2 = 0 \\ (y + 2)^2 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x - 3 = 0 \\ y + 2 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 3 \\ y = -2 \end{cases}$

Ответ: $(3; -2)$.

2) $x^2 + 2xy + 10y^2 - 12y + 4 = 0$

Попробуем выделить полные квадраты. Заметим, что $x^2 + 2xy$ является частью квадрата суммы $(x+y)^2$. Представим $10y^2$ как $y^2 + 9y^2$.

$(x^2 + 2xy + y^2) + 9y^2 - 12y + 4 = 0$

Первая группа слагаемых сворачивается в $(x+y)^2$. Вторая группа, $9y^2 - 12y + 4$, также является полным квадратом, так как это $(3y)^2 - 2 \cdot (3y) \cdot 2 + 2^2$.

$(x+y)^2 + (3y - 2)^2 = 0$

Сумма двух квадратов равна нулю только в том случае, если оба выражения, возводимые в квадрат, равны нулю.

$\begin{cases} x + y = 0 \\ 3y - 2 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения находим $y$:

$3y = 2 \implies y = \frac{2}{3}$

Подставляем значение $y$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:

$x + \frac{2}{3} = 0 \implies x = -\frac{2}{3}$

Ответ: $(-\frac{2}{3}; \frac{2}{3})$.

3) $\sqrt{x-1} = \sqrt{-y^2(y+1)^2}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения. Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными.

1. Для левой части: $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

2. Для правой части: $-y^2(y+1)^2 \ge 0$.

Поскольку $y^2 \ge 0$ и $(y+1)^2 \ge 0$ для любых действительных $y$, их произведение $y^2(y+1)^2$ также неотрицательно. Следовательно, выражение $-y^2(y+1)^2$ будет неположительным, то есть $-y^2(y+1)^2 \le 0$.

Единственный случай, когда условие $-y^2(y+1)^2 \ge 0$ выполняется, — это когда выражение равно нулю:

$-y^2(y+1)^2 = 0$

$y^2(y+1)^2 = 0$

Отсюда следует, что $y^2 = 0$ или $(y+1)^2 = 0$.

$y = 0$ или $y = -1$.

Теперь, когда мы знаем, что правая часть уравнения равна нулю, мы можем найти $x$:

$\sqrt{x-1} = \sqrt{0}$

$\sqrt{x-1} = 0$

$x - 1 = 0 \implies x = 1$

Это значение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 1$). Таким образом, у нас есть два решения.

Ответ: $(1; 0)$, $(1; -1)$.

4) $x^2 + \sqrt{y^2+1} = 1$

Проанализируем левую часть уравнения. Она состоит из двух слагаемых.

Первое слагаемое, $x^2$, является неотрицательным для любого действительного $x$: $x^2 \ge 0$.

Второе слагаемое, $\sqrt{y^2+1}$. Так как $y^2 \ge 0$, то $y^2 + 1 \ge 1$. Следовательно, $\sqrt{y^2+1} \ge \sqrt{1}$, то есть $\sqrt{y^2+1} \ge 1$.

Сложим минимальные значения слагаемых:

$x^2 + \sqrt{y^2+1} \ge 0 + 1 = 1$

Мы видим, что левая часть уравнения всегда больше или равна 1. Равенство достигается только в том случае, когда оба слагаемых принимают свои минимальные значения одновременно.

Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} x^2 = 0 \\ \sqrt{y^2+1} = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $x = 0$.

Решим второе уравнение:

$y^2 + 1 = 1^2$

$y^2 + 1 = 1$

$y^2 = 0 \implies y = 0$

Таким образом, единственное решение — это пара $(0, 0)$.

Ответ: $(0; 0)$.