Номер 9.30, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.30, страница 98.

Условие.

9.30. Найдите множество решений неравенства в зависимости от значения параметра $a$:

1) $|x+2|(x^2 - (a+1)x + a) < 0$;

2) $|x+2|(x^2 - (a+1)x + a) \le 0$.

Решение.

1)

Рассмотрим неравенство $|x+2|(x^2 - (a+1)x + a) < 0$.
Множитель $|x+2| \ge 0$ при всех $x$. Для того чтобы произведение было строго отрицательным, необходимо, чтобы оба множителя были не равны нулю. Следовательно, $|x+2| \ne 0$, что означает $x \ne -2$.
При условии $x \ne -2$, множитель $|x+2|$ строго положителен. Мы можем разделить обе части неравенства на $|x+2|$, не меняя знака неравенства. Таким образом, исходное неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} x^2 - (a+1)x + a < 0 \\ x \ne -2 \end{cases} $$ Решим квадратное неравенство $x^2 - (a+1)x + a < 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - (a+1)x + a$, приравняв его к нулю. По теореме Виета, сумма корней равна $a+1$, а их произведение равно $a$. Отсюда следует, что корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = a$.
Неравенство можно переписать в виде $(x-1)(x-a) < 0$.
Решение этого неравенства зависит от взаимного расположения корней $1$ и $a$.

Случай 1: $a < 1$.
Решением неравенства $(x-1)(x-a) < 0$ является интервал $(a, 1)$. Теперь учтем условие $x \ne -2$.
- Если $a < -2$, то точка $-2$ лежит внутри интервала $(a, 1)$. Решение: $x \in (a, -2) \cup (-2, 1)$.
- Если $a = -2$, то интервал $(a, 1)$ становится $(-2, 1)$. Условие $x \ne -2$ уже выполнено. Решение: $x \in (-2, 1)$.
- Если $-2 < a < 1$, то точка $-2$ не входит в интервал $(a, 1)$. Решение: $x \in (a, 1)$.

Случай 2: $a = 1$.
Неравенство принимает вид $(x-1)^2 < 0$. Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому это неравенство не имеет решений.

Случай 3: $a > 1$.
Решением неравенства $(x-1)(x-a) < 0$ является интервал $(1, a)$. Точка $x = -2$ не принадлежит этому интервалу, поэтому дополнительное условие выполнено. Решение: $x \in (1, a)$.

Ответ:
при $a < -2$: $x \in (a, -2) \cup (-2, 1)$;
при $a = -2$: $x \in (-2, 1)$;
при $-2 < a < 1$: $x \in (a, 1)$;
при $a = 1$: решений нет ($x \in \emptyset$);
при $a > 1$: $x \in (1, a)$.

2)

Рассмотрим неравенство $|x+2|(x^2 - (a+1)x + a) \le 0$.
Множитель $|x+2|$ всегда неотрицателен. Произведение двух неотрицательных множителей может быть меньше или равно нулю только в том случае, если оно равно нулю, или если один множитель положителен, а другой отрицателен.
Поскольку $|x+2| \ge 0$, то для выполнения неравенства необходимо, чтобы второй множитель был неположительным: $x^2 - (a+1)x + a \le 0$.
Кроме того, исходное неравенство обращается в верное равенство $0 \le 0$, если $|x+2| = 0$, то есть при $x=-2$. Это означает, что $x=-2$ является решением при любом значении параметра $a$.
Таким образом, множество решений исходного неравенства есть объединение множества решений неравенства $x^2 - (a+1)x + a \le 0$ и точки $x=-2$.

Решим неравенство $x^2 - (a+1)x + a \le 0$, или $(x-1)(x-a) \le 0$. Корни $x_1 = 1$, $x_2 = a$.

Случай 1: $a < 1$.
Решением неравенства $(x-1)(x-a) \le 0$ является отрезок $[a, 1]$.
Общее решение — это $[a, 1] \cup \{-2\}$.
- Если $a \le -2$, то точка $-2$ принадлежит отрезку $[a, 1]$, и объединение дает $x \in [a, 1]$.
- Если $-2 < a < 1$, то точка $-2$ не принадлежит отрезку $[a, 1]$, и решение представляет собой объединение множеств: $x \in \{-2\} \cup [a, 1]$.

Случай 2: $a = 1$.
Неравенство принимает вид $(x-1)^2 \le 0$. Единственное решение — $x=1$.
Общее решение — это $\{1\} \cup \{-2\}$.

Случай 3: $a > 1$.
Решением неравенства $(x-1)(x-a) \le 0$ является отрезок $[1, a]$.
Точка $-2$ не принадлежит этому отрезку. Общее решение — это объединение множеств: $x \in \{-2\} \cup [1, a]$.

Ответ:
при $a \le -2$: $x \in [a, 1]$;
при $-2 < a < 1$: $x \in \{-2\} \cup [a, 1]$;
при $a = 1$: $x \in \{-2, 1\}$;
при $a > 1$: $x \in \{-2\} \cup [1, a]$.