Номер 9.29, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.29, страница 98.

Условие.

9.29. Найдите множество решений неравенства в зависимости от значения параметра $a$:

1) $|x-1|(x^2-(a+3)x+3a) < 0$;

2) $|x-1|(x^2-(a+3)x+3a) \le 0$.

Решение.

1)

Рассмотрим неравенство $|x - 1|(x^2 - (a + 3)x + 3a) < 0$.

Поскольку $|x - 1| \ge 0$ для любого $x$, произведение будет строго отрицательным только в том случае, если оба следующих условия выполняются одновременно:

1. $|x - 1| > 0$, что эквивалентно $x \neq 1$.
2. $x^2 - (a + 3)x + 3a < 0$.

Решим квадратное неравенство. Для этого найдем корни уравнения $x^2 - (a + 3)x + 3a = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $a+3$, а произведение корней равно $3a$. Легко видеть, что корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = a$.

Таким образом, неравенство можно переписать в виде $(x - 3)(x - a) < 0$.

Решение этого неравенства зависит от взаимного расположения корней $3$ и $a$.

Случай 1: $a < 3$

Решением неравенства $(x - 3)(x - a) < 0$ является интервал $(a, 3)$. Теперь нужно учесть условие $x \neq 1$.

• Если $a < 1$, то $1 \in (a, 3)$. Точку $x=1$ необходимо исключить. Множество решений: $(a, 1) \cup (1, 3)$.
• Если $a = 1$, решением является интервал $(1, 3)$. Условие $x \neq 1$ уже выполнено.
• Если $1 < a < 3$, решением является интервал $(a, 3)$. Точка $x=1$ не принадлежит этому интервалу, поэтому условие $x \neq 1$ выполнено.

Объединяя случаи $a=1$ и $1 < a < 3$, получаем, что при $1 \le a < 3$ решение есть $(a, 3)$.

Случай 2: $a = 3$

Неравенство принимает вид $(x - 3)^2 < 0$. Это неравенство не имеет действительных решений, так как квадрат любого числа неотрицателен.

Случай 3: $a > 3$

Решением неравенства $(x - 3)(x - a) < 0$ является интервал $(3, a)$. Точка $x=1$ не принадлежит этому интервалу, поэтому условие $x \neq 1$ выполнено. Множество решений: $(3, a)$.

Ответ: при $a < 1$ решением является $x \in (a, 1) \cup (1, 3)$; при $1 \le a < 3$ решением является $x \in (a, 3)$; при $a = 3$ решений нет; при $a > 3$ решением является $x \in (3, a)$.

2)

Рассмотрим неравенство $|x - 1|(x^2 - (a + 3)x + 3a) \le 0$.

Поскольку $|x - 1| \ge 0$, произведение будет неположительным, если:

• Один из множителей равен нулю. Это происходит при $x - 1 = 0$, то есть $x=1$, или при $x^2 - (a + 3)x + 3a = 0$, то есть при $x=a$ или $x=3$.
• Первый множитель строго положителен ($|x - 1| > 0$, т.е. $x \neq 1$), а второй отрицателен ($x^2 - (a + 3)x + 3a < 0$).

Таким образом, множество решений неравенства является объединением решения уравнения $|x - 1|(x^2 - (a + 3)x + 3a) = 0$ и решения строгого неравенства $|x - 1|(x^2 - (a + 3)x + 3a) < 0$ из пункта 1).

Это эквивалентно решению системы:

$x = 1$ или $x^2 - (a + 3)x + 3a \le 0$.

Решим неравенство $x^2 - (a + 3)x + 3a \le 0$. Как и в предыдущем пункте, его можно записать в виде $(x - 3)(x - a) \le 0$.

Случай 1: $a < 3$

Решением неравенства $(x - 3)(x - a) \le 0$ является отрезок $[a, 3]$. Общее решение исходного неравенства — это $\{1\} \cup [a, 3]$.

• Если $a \le 1$, то $1 \in [a, 3]$, и объединение дает $[a, 3]$.
• Если $1 < a < 3$, то $1 \notin [a, 3]$, и объединение есть $\{1\} \cup [a, 3]$.

Случай 2: $a = 3$

Неравенство принимает вид $(x - 3)^2 \le 0$. Единственное решение — $x=3$. Общее решение исходного неравенства — это $\{1\} \cup \{3\}$, то есть $x=1$ и $x=3$.

Случай 3: $a > 3$

Решением неравенства $(x - 3)(x - a) \le 0$ является отрезок $[3, a]$. Общее решение исходного неравенства — это $\{1\} \cup [3, a]$, так как $1 \notin [3, a]$.

Ответ: при $a \le 1$ решением является $x \in [a, 3]$; при $1 < a < 3$ решением является $x \in \{1\} \cup [a, 3]$; при $a = 3$ решением является $x \in \{1, 3\}$; при $a > 3$ решением является $x \in \{1\} \cup [3, a]$.