Номер 9.22, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.22, страница 97.

Условие.

9.22. Решите неравенство:

1) $(|x| - 5)(|x| - 7) \le 0;$

2) $\frac{|x+3|+x}{x+2} > 1;$

3) $\frac{x^2 - 7|x| + 10}{x^2 - 6x + 9} < 0;$

4) $\frac{2}{x|x-1|} \le -1.$

Решение.

1) Решим неравенство $(|x| - 5)(|x| - 7) \le 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x|$, при этом $t \ge 0$.

Неравенство принимает вид: $(t - 5)(t - 7) \le 0$.

Это квадратное неравенство, ветви параболы $y = (t-5)(t-7)$ направлены вверх. Решением является промежуток между корнями $t=5$ и $t=7$, включая сами корни: $5 \le t \le 7$.

Возвращаемся к исходной переменной $x$:

$5 \le |x| \le 7$.

Это двойное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} |x| \ge 5 \\ |x| \le 7 \end{cases}$

Решением первого неравенства $|x| \ge 5$ является объединение промежутков $(-\infty, -5] \cup [5, +\infty)$.

Решением второго неравенства $|x| \le 7$ является промежуток $[-7, 7]$.

Найдем пересечение этих решений, что и будет ответом к исходному неравенству: $x \in [-7, -5] \cup [5, 7]$.

Ответ: $x \in [-7, -5] \cup [5, 7]$.

2) Решим неравенство $\frac{|x + 3| + x}{x + 2} > 1$.

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{|x + 3| + x}{x + 2} - 1 > 0$

$\frac{|x + 3| + x - (x + 2)}{x + 2} > 0$

$\frac{|x + 3| - 2}{x + 2} > 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x + 2 \ne 0 \implies x \ne -2$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая, в зависимости от знака подмодульного выражения $x+3$.

Случай 1: $x + 3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$.

В этом случае $|x+3| = x+3$. Неравенство принимает вид:

$\frac{(x + 3) - 2}{x + 2} > 0 \implies \frac{x + 1}{x + 2} > 0$.

Решим методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x = -1$ и $x = -2$. Решением является $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, +\infty)$.

С учетом условия $x \ge -3$, получаем решение для этого случая: $x \in [-3, -2) \cup (-1, +\infty)$.

Случай 2: $x + 3 < 0$, то есть $x < -3$.

В этом случае $|x+3| = -(x+3)$. Неравенство принимает вид:

$\frac{-(x + 3) - 2}{x + 2} > 0 \implies \frac{-x - 5}{x + 2} > 0$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $\frac{x + 5}{x + 2} < 0$.

Решим методом интервалов. Корни: $x = -5$ и $x = -2$. Решением является $x \in (-5, -2)$.

С учетом условия $x < -3$, получаем решение для этого случая: $x \in (-5, -3)$.

Общее решение неравенства является объединением решений, полученных в обоих случаях:

$ ([-3, -2) \cup (-1, +\infty)) \cup (-5, -3) = (-5, -2) \cup (-1, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-5, -2) \cup (-1, +\infty)$.

3) Решим неравенство $\frac{x^2 - 7|x| + 10}{x^2 - 6x + 9} < 0$.

Преобразуем знаменатель: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.

ОДЗ: $(x - 3)^2 \ne 0$, то есть $x \ne 3$.

При $x \ne 3$ знаменатель $(x-3)^2$ всегда строго положителен. Следовательно, знак дроби совпадает со знаком числителя. Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 7|x| + 10 < 0 \\ x \ne 3 \end{cases}$

Решим первое неравенство. Так как $x^2 = |x|^2$, его можно переписать в виде $|x|^2 - 7|x| + 10 < 0$.

Сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$. Получаем $t^2 - 7t + 10 < 0$.

Корни квадратного трехчлена $t^2 - 7t + 10$ по теореме Виета равны $t_1 = 2$ и $t_2 = 5$.

Решением неравенства является интервал $2 < t < 5$.

Возвращаемся к переменной $x$: $2 < |x| < 5$.

Это двойное неравенство эквивалентно системе $\begin{cases} |x| > 2 \\ |x| < 5 \end{cases}$.

Из $|x| > 2$ следует $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

Из $|x| < 5$ следует $x \in (-5, 5)$.

Пересечение этих множеств дает $x \in (-5, -2) \cup (2, 5)$.

Теперь необходимо учесть условие $x \ne 3$. Точка 3 попадает в интервал $(2, 5)$, поэтому ее нужно исключить из решения.

Итоговое решение: $x \in (-5, -2) \cup (2, 3) \cup (3, 5)$.

Ответ: $x \in (-5, -2) \cup (2, 3) \cup (3, 5)$.

4) Решим неравенство $\frac{2}{x|x - 1|} \le -1$.

ОДЗ: $x|x - 1| \ne 0$, откуда $x \ne 0$ и $x \ne 1$.

Правая часть неравенства (число -1) отрицательна. Следовательно, левая часть также должна быть отрицательной, так как положительное число не может быть меньше или равно отрицательному.

Числитель $2$ положителен. Множитель $|x - 1|$ неотрицателен (и строго положителен в ОДЗ). Значит, знак левой части определяется знаком множителя $x$.

Чтобы дробь была отрицательной, необходимо и достаточно, чтобы $x < 0$.

Таким образом, мы ищем решения неравенства только при условии $x < 0$.

Если $x < 0$, то выражение $x-1$ также отрицательно, поэтому $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.

Неравенство принимает вид: $\frac{2}{x(1-x)} \le -1$.

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{2}{x(1-x)} + 1 \le 0$

$\frac{2 + x(1-x)}{x(1-x)} \le 0$

$\frac{-x^2 + x + 2}{x - x^2} \le 0$

Домножим числитель и знаменатель на -1 (знак дроби не изменится):

$\frac{x^2 - x - 2}{x^2 - x} \le 0$

$\frac{(x-2)(x+1)}{x(x-1)} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x = -1, x = 2$. Нули знаменателя: $x = 0, x = 1$.

Отмечаем точки на числовой оси (нули числителя закрашены, нули знаменателя выколоты) и определяем знаки на интервалах. Получаем решение: $x \in [-1, 0) \cup (1, 2]$.

Теперь найдем пересечение этого решения с ранее установленным условием $x < 0$.

$ ([-1, 0) \cup (1, 2]) \cap (-\infty, 0) = [-1, 0)$.

Ответ: $x \in [-1, 0)$.