Номер 9.21, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.21, страница 97.

Условие.

9.21. Решите неравенство:

1) $(|x| - 3)(|x| - 8) \geq 0;$

2) $\frac{|x+2|-x}{x} < 2;$

3) $\frac{x^2 - |x| - 12}{x - 3} \geq 2x;$

4) $\frac{|x-1|}{x+2} + x-3 > \frac{1}{x+2}.$

Решение.

1)

Решим неравенство $(|x| - 3)(|x| - 8) \ge 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = |x|$. Так как модуль любого числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

Неравенство принимает вид:

$(t - 3)(t - 8) \ge 0$

Это квадратное неравенство относительно $t$. Корни соответствующего уравнения $(t - 3)(t - 8) = 0$ равны $t_1=3$ и $t_2=8$. Графиком функции $y=(t-3)(t-8)$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, неравенство выполняется при $t \le 3$ или $t \ge 8$.

Возвращаемся к исходной переменной $x$:

1. $t \le 3 \implies |x| \le 3$. Это неравенство равносильно системе $-3 \le x \le 3$.

2. $t \ge 8 \implies |x| \ge 8$. Это неравенство равносильно совокупности $x \ge 8$ или $x \le -8$.

Объединяя полученные решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty, -8] \cup [-3, 3] \cup [8, +\infty)$.

2)

Решим неравенство $\frac{|x+2| - x}{x} < 2$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$.

В этом случае $|x+2| = x+2$. Неравенство принимает вид:

$\frac{x+2 - x}{x} < 2$

$\frac{2}{x} < 2$

$\frac{2}{x} - 2 < 0$

$\frac{2 - 2x}{x} < 0$

$\frac{2(1-x)}{x} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x=1$. Нули знаменателя: $x=0$.

На числовой оси отмечаем точки 0 и 1. Они разбивают ось на интервалы $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$, $(1, +\infty)$.

Выражение $\frac{1-x}{x}$ отрицательно при $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

Учитывая условие этого случая ($x \ge -2$) и ОДЗ ($x \ne 0$), получаем решение для первого случая: $x \in [-2, 0) \cup (1, +\infty)$.

Случай 2: $x + 2 < 0$, то есть $x < -2$.

В этом случае $|x+2| = -(x+2) = -x-2$. Неравенство принимает вид:

$\frac{-x-2 - x}{x} < 2$

$\frac{-2x - 2}{x} < 2$

$\frac{-2x - 2}{x} - 2 < 0$

$\frac{-2x - 2 - 2x}{x} < 0$

$\frac{-4x - 2}{x} < 0$

Разделим на -2, изменив знак неравенства:

$\frac{2x+1}{x} > 0$

Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1/2) \cup (0, +\infty)$.

Учитывая условие этого случая ($x < -2$), получаем решение для второго случая: $x \in (-\infty, -2)$.

Объединяем решения из обоих случаев:

$([-2, 0) \cup (1, +\infty)) \cup (-\infty, -2) = (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

3)

Решим неравенство $\frac{x^2 - |x| - 12}{x-3} \ge 2x$.

ОДЗ: $x \ne 3$. Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Неравенство можно переписать так: $\frac{|x|^2 - |x| - 12}{x-3} \ge 2x$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge 0$.

Тогда $|x|=x$. Неравенство принимает вид:

$\frac{x^2 - x - 12}{x-3} \ge 2x$

$\frac{x^2 - x - 12}{x-3} - 2x \ge 0$

$\frac{x^2 - x - 12 - 2x(x-3)}{x-3} \ge 0$

$\frac{x^2 - x - 12 - 2x^2 + 6x}{x-3} \ge 0$

$\frac{-x^2 + 5x - 12}{x-3} \ge 0$

Умножим на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{x^2 - 5x + 12}{x-3} \le 0$

Рассмотрим числитель $x^2 - 5x + 12$. Его дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 25 - 48 = -23 < 0$. Так как старший коэффициент (при $x^2$) положителен, то выражение $x^2 - 5x + 12$ всегда положительно.

Таким образом, неравенство сводится к $x-3 < 0$ (знак строгий, так как знаменатель не может быть равен нулю), откуда $x < 3$.

Учитывая условие этого случая ($x \ge 0$) и ОДЗ ($x \ne 3$), получаем решение: $x \in [0, 3)$.

Случай 2: $x < 0$.

Тогда $|x|=-x$. Неравенство принимает вид:

$\frac{x^2 - (-x) - 12}{x-3} \ge 2x$

$\frac{x^2 + x - 12}{x-3} \ge 2x$

Разложим числитель на множители: $x^2 + x - 12 = (x+4)(x-3)$.

$\frac{(x+4)(x-3)}{x-3} \ge 2x$

Так как в этом случае $x < 0$, то $x-3 \ne 0$, и мы можем сократить дробь:

$x+4 \ge 2x$

$4 \ge x$

Учитывая условие этого случая ($x < 0$), получаем решение: $x \in (-\infty, 0)$.

Объединяем решения из обоих случаев: $[0, 3) \cup (-\infty, 0) = (-\infty, 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 3)$.

4)

Решим неравенство $\frac{|x-1|}{x+2} + x - 3 > \frac{1}{x+2}$.

ОДЗ: $x+2 \ne 0 \implies x \ne -2$.

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{|x-1|}{x+2} - \frac{1}{x+2} + x - 3 > 0$

$\frac{|x-1| - 1}{x+2} + x - 3 > 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.

Тогда $|x-1|=x-1$. Неравенство принимает вид:

$\frac{x-1-1}{x+2} + x-3 > 0$

$\frac{x-2}{x+2} + \frac{(x-3)(x+2)}{x+2} > 0$

$\frac{x-2 + x^2 - x - 6}{x+2} > 0$

$\frac{x^2 - 8}{x+2} > 0$

$\frac{(x-2\sqrt{2})(x+2\sqrt{2})}{x+2} > 0$

Методом интервалов с точками $-2\sqrt{2}$, $-2$, $2\sqrt{2}$ получаем решение $x \in (-2\sqrt{2}, -2) \cup (2\sqrt{2}, +\infty)$.

Учитывая условие этого случая ($x \ge 1$), получаем решение: $x \in (2\sqrt{2}, +\infty)$.

Случай 2: $x-1 < 0$, то есть $x < 1$.

Тогда $|x-1|=-(x-1) = 1-x$. Неравенство принимает вид:

$\frac{1-x-1}{x+2} + x-3 > 0$

$\frac{-x}{x+2} + \frac{(x-3)(x+2)}{x+2} > 0$

$\frac{-x + x^2 - x - 6}{x+2} > 0$

$\frac{x^2 - 2x - 6}{x+2} > 0$

Найдем корни числителя: $x^2 - 2x - 6 = 0$. $D = 4 - 4(-6) = 28$, $x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2} = 1 \pm \sqrt{7}$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x-(1-\sqrt{7}))(x-(1+\sqrt{7}))}{x+2} > 0$.

Методом интервалов с точками $-2$, $1-\sqrt{7}$, $1+\sqrt{7}$ получаем решение $x \in (-2, 1-\sqrt{7}) \cup (1+\sqrt{7}, +\infty)$.

Учитывая условие этого случая ($x < 1$) и ОДЗ ($x \ne -2$), получаем решение: $x \in (-2, 1-\sqrt{7})$.

Объединяем решения из обоих случаев: $(-2, 1-\sqrt{7}) \cup (2\sqrt{2}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-2, 1-\sqrt{7}) \cup (2\sqrt{2}, +\infty)$.