Номер 9.18, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.18, страница 97.

Условие.

9.18. Решите неравенство:

1) $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} > 0;$

2) $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} \ge 0;$

3) $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} < 0;$

4) $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} \le 0;$

5) $(x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2} < 0;$

6) $(x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2} > 0;$

7) $(x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2} \le 0;$

8) $(x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2} \ge 0;$

9) $(x^2 - 4x - 5)\sqrt{x^2 - 5x + 6} > 0;$

10) $(x^2 - 4x - 5)\sqrt{x^2 - 5x + 6} < 0;$

11) $(x^2 - 4x - 5)\sqrt{x^2 - 5x + 6} \le 0;$

12) $(x^2 - 4x - 5)\sqrt{x^2 - 5x + 6} \ge 0.$

Решение.

1) $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} > 0$

Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 14 + 5x - x^2 > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $14 + 5x - x^2 > 0$.

Умножим на $-1$: $x^2 - 5x - 14 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 14 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 7$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 - 5x - 14 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-2, 7)$.

Решим второе неравенство: $x - 3 > 0 \implies x > 3$.

Теперь найдем пересечение решений системы: $x \in (-2, 7) \cap (3, \infty)$.

Пересечением является интервал $(3, 7)$.

Ответ: $(3, 7)$

2) $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} \ge 0$

Неравенство выполняется в двух случаях:

1) Когда выражение равно нулю. Это происходит, если $14 + 5x - x^2 = 0$ или $x - 3 = 0$.

$14 + 5x - x^2 = 0 \implies x = -2$ или $x = 7$.

$x - 3 = 0 \implies x = 3$.

Все эти значения входят в область допустимых значений ($14 + 5x - x^2 \ge 0 \implies x \in [-2, 7]$).

2) Когда выражение строго больше нуля. Из предыдущего пункта мы знаем, что это $x \in (3, 7)$.

Объединяем все найденные решения: $\{-2, 3, 7\} \cup (3, 7)$.

Получаем: $\{-2\} \cup [3, 7]$.

Ответ: $\{-2\} \cup [3, 7]$

3) $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} < 0$

Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 14 + 5x - x^2 > 0 \\ x - 3 < 0 \end{cases} $

Из решения пункта 1) мы знаем, что $14 + 5x - x^2 > 0$ при $x \in (-2, 7)$.

Решим второе неравенство: $x - 3 < 0 \implies x < 3$.

Найдем пересечение решений системы: $x \in (-2, 7) \cap (-\infty, 3)$.

Пересечением является интервал $(-2, 3)$.

Ответ: $(-2, 3)$

4) $(x - 3)\sqrt{14 + 5x - x^2} \le 0$

Неравенство выполняется в двух случаях:

1) Когда выражение равно нулю. Из пункта 2) мы знаем, что это происходит при $x = -2, x = 3, x = 7$.

2) Когда выражение строго меньше нуля. Из пункта 3) мы знаем, что это $x \in (-2, 3)$.

Объединяем все найденные решения: $\{-2, 3, 7\} \cup (-2, 3)$.

Получаем: $[-2, 3] \cup \{7\}$.

Ответ: $[-2, 3] \cup \{7\}$

5) $(x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2} < 0$

Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 16 - x^2 > 0 \\ x^2 - 25 < 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $16 - x^2 > 0 \implies x^2 < 16 \implies -4 < x < 4$, то есть $x \in (-4, 4)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 25 < 0 \implies x^2 < 25 \implies -5 < x < 5$, то есть $x \in (-5, 5)$.

Найдем пересечение решений системы: $x \in (-4, 4) \cap (-5, 5)$.

Пересечением является интервал $(-4, 4)$.

Ответ: $(-4, 4)$

6) $(x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2} > 0$

Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 16 - x^2 > 0 \\ x^2 - 25 > 0 \end{cases} $

Решение первого неравенства: $x \in (-4, 4)$.

Решение второго неравенства: $x^2 > 25 \implies x \in (-\infty, -5) \cup (5, \infty)$.

Пересечение этих множеств пусто, так как нет чисел, которые одновременно находятся в интервале $(-4, 4)$ и вне интервала $[-5, 5]$.

Ответ: $\emptyset$

7) $(x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2} \le 0$

Неравенство выполняется в двух случаях:

1) Когда выражение равно нулю. Это происходит, если $16 - x^2 = 0$.

$16 - x^2 = 0 \implies x^2 = 16 \implies x = -4$ или $x = 4$.

(Заметим, что $x^2-25=0$ при $x=\pm5$, что не входит в ОДЗ: $16-x^2 \ge 0 \implies x \in [-4, 4]$).

2) Когда выражение строго меньше нуля. Из пункта 5) мы знаем, что это $x \in (-4, 4)$.

Объединяем все найденные решения: $\{-4, 4\} \cup (-4, 4)$.

Получаем: $[-4, 4]$.

Ответ: $[-4, 4]$

8) $(x^2 - 25)\sqrt{16 - x^2} \ge 0$

Неравенство выполняется в двух случаях:

1) Когда выражение равно нулю. Из пункта 7) это $x = -4$ и $x = 4$.

2) Когда выражение строго больше нуля. Из пункта 6) мы знаем, что таких решений нет.

Таким образом, решениями являются только те значения, при которых выражение равно нулю.

Ответ: $\{-4, 4\}$

9) $(x^2 - 4x - 5)\sqrt{x^2 - 5x + 6} > 0$

Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - 5x + 6 > 0 \\ x^2 - 4x - 5 > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $x^2 - 5x + 6 > 0$. Корни уравнения $x^2-5x+6=0$ равны $2$ и $3$. Неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 4x - 5 > 0$. Корни уравнения $x^2-4x-5=0$ равны $-1$ и $5$. Неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1) \cup (5, \infty)$.

Найдем пересечение множеств $(-\infty, 2) \cup (3, \infty)$ и $(-\infty, -1) \cup (5, \infty)$.

Пересечением является $(-\infty, -1) \cup (5, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, -1) \cup (5, \infty)$

10) $(x^2 - 4x - 5)\sqrt{x^2 - 5x + 6} < 0$

Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - 5x + 6 > 0 \\ x^2 - 4x - 5 < 0 \end{cases} $

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 4x - 5 < 0$. Это выполняется между корнями $-1$ и $5$, то есть $x \in (-1, 5)$.

Найдем пересечение множеств $(-\infty, 2) \cup (3, \infty)$ и $(-1, 5)$.

Пересечением является $(-1, 2) \cup (3, 5)$.

Ответ: $(-1, 2) \cup (3, 5)$

11) $(x^2 - 4x - 5)\sqrt{x^2 - 5x + 6} \le 0$

Неравенство выполняется в двух случаях:

1) Когда выражение равно нулю. Это происходит, если $x^2 - 5x + 6 = 0$ (т.е. $x=2, x=3$) или $x^2 - 4x - 5 = 0$ (т.е. $x=-1, x=5$) при условии, что $x$ входит в ОДЗ ($x^2 - 5x + 6 \ge 0$).

ОДЗ: $x \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

Все корни $x=-1, x=2, x=3, x=5$ удовлетворяют ОДЗ.

2) Когда выражение строго меньше нуля. Из пункта 10) мы знаем, что это $x \in (-1, 2) \cup (3, 5)$.

Объединяем все найденные решения: $\{-1, 2, 3, 5\} \cup ((-1, 2) \cup (3, 5))$.

Получаем: $[-1, 2] \cup [3, 5]$.

Ответ: $[-1, 2] \cup [3, 5]$

12) $(x^2 - 4x - 5)\sqrt{x^2 - 5x + 6} \ge 0$

Неравенство выполняется в двух случаях:

1) Когда выражение равно нулю. Из пункта 11) это $x = -1, x = 2, x = 3, x = 5$.

2) Когда выражение строго больше нуля. Из пункта 9) мы знаем, что это $x \in (-\infty, -1) \cup (5, \infty)$.

Объединяем все найденные решения: $\{-1, 2, 3, 5\} \cup ((-\infty, -1) \cup (5, \infty))$.

Получаем: $(-\infty, -1] \cup \{2, 3\} \cup [5, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, -1] \cup \{2, 3\} \cup [5, \infty)$