Номер 9.11, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.11, страница 96.

Условие.

9.11. Решите неравенство:

1) $(3x + 1)(3 - x)(x + 5) \le 0;$

2) $(2x + 1)^2(x - 1)(x - 2) \ge 0;$

3) $\frac{(x - 3)(5x + 2)(x + 3)}{(x - 1)(x + 4)^2} \ge 0;$

4) $\frac{x^5 |3x - 1|(x + 3)}{x - 2} \le 0;$

5) $\frac{1 - 2x - 3x^2}{3x - x^2 - 5} \ge 0;$

6) $\frac{5x + 4}{x + 3} - \frac{x + 2}{1 - x} \le 0.$

Решение.

1) $(3x + 1)(3 - x)(x + 5) \le 0$

Для решения неравенства методом интервалов приведем его к стандартному виду, чтобы коэффициенты при $x$ во всех множителях были положительными. Вынесем $-1$ из скобки $(3 - x)$:

$(3x + 1)(-1)(x - 3)(x + 5) \le 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:

$(3x + 1)(x - 3)(x + 5) \ge 0$

Найдем корни левой части уравнения, приравняв каждый множитель к нулю:

• $3x + 1 = 0 \implies x = -1/3$
• $x - 3 = 0 \implies x = 3$
• $x + 5 = 0 \implies x = -5$

Отметим корни $-5$, $-1/3$, $3$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала. Определим знак выражения на каждом интервале. Возьмем точку из крайнего правого интервала, например $x=4$:

$(3 \cdot 4 + 1)(4 - 3)(4 + 5) = 13 \cdot 1 \cdot 9 > 0$.

Поскольку все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки на интервалах будут чередоваться: $(+, -, +, -)$ справа налево.

$(-\infty; -5]$ : $-$
$[-5; -1/3]$ : $+ $
$[-1/3; 3]$ : $-$
$[3; +\infty)$ : $+$

Нам нужно найти, где выражение $\ge 0$. Это интервалы со знаком "$+$". Точки, где выражение равно нулю, включаем в ответ.

Ответ: $x \in [-5, -1/3] \cup [3, \infty)$.

2) $(2x + 1)^2(x - 1)(x - 2) \ge 0$

Найдем корни левой части:

• $(2x + 1)^2 = 0 \implies x = -1/2$ (корень кратности 2, четная)
• $x - 1 = 0 \implies x = 1$ (корень кратности 1, нечетная)
• $x - 2 = 0 \implies x = 2$ (корень кратности 1, нечетная)

Отметим точки $-1/2$, $1$, $2$ на числовой прямой. Определим знаки на интервалах. Для $x > 2$ (например, $x=3$) выражение положительно: $(2 \cdot 3 + 1)^2(3 - 1)(3 - 2) > 0$.

Двигаясь справа налево, меняем знак при переходе через корни нечетной кратности ($x=2$ и $x=1$) и не меняем знак при переходе через корень четной кратности ($x=-1/2$).

$(-\infty; -1/2]$ : $+ $
$[-1/2; 1]$ : $+ $
$[1; 2]$ : $-$
$[2; +\infty)$ : $+$

Нам нужны интервалы, где выражение $\ge 0$. Точка $x=-1/2$ также является решением, так как в ней выражение равно нулю. Объединяем интервалы.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$.

3) $\frac{(x - 3)(5x + 2)(x + 3)}{(x - 1)(x + 4)^2} > 0$

Найдем нули числителя и знаменателя. Это точки, в которых выражение может сменить знак.

Нули числителя (выражение равно 0):

• $x - 3 = 0 \implies x = 3$
• $5x + 2 = 0 \implies x = -2/5$
• $x + 3 = 0 \implies x = -3$

Нули знаменателя (точки разрыва, "выколотые" точки):

• $x - 1 = 0 \implies x = 1$
• $(x + 4)^2 = 0 \implies x = -4$ (корень кратности 2)

Отметим точки $-4, -3, -2/5, 1, 3$ на числовой прямой. Определим знаки на интервалах. Для $x > 3$ (например, $x=4$) все множители положительны, значит, дробь положительна.

При переходе через корень $x=-4$ (четная кратность) знак не меняется. В остальных точках кратность нечетная, знак меняется.

$(-\infty; -4)$ : $+ $
$(-4; -3)$ : $+ $
$(-3; -2/5)$ : $-$
$(-2/5; 1)$ : $+ $
$(1; 3)$ : $-$
$(3; +\infty)$ : $+$

Нам нужны интервалы, где выражение строго $> 0$. Точки разрыва и нули числителя не включаем.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, -3) \cup (-2/5, 1) \cup (3, \infty)$.

4) $\frac{x^5 |3x - 1|(x + 3)}{x - 2} \le 0$

Выражение $|3x - 1|$ всегда неотрицательно. Оно равно нулю при $x = 1/3$. В этой точке все неравенство обращается в ноль, что удовлетворяет знаку $\le$. Значит, $x = 1/3$ является решением.

Если $x \ne 1/3$, то $|3x - 1| > 0$. Мы можем разделить обе части неравенства на это положительное выражение, знак неравенства не изменится:

$\frac{x^5(x + 3)}{x - 2} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x=0$ (кратность 5), $x=-3$. Нуль знаменателя: $x=2$.

Отметим точки $-3, 0, 2$ на прямой. Все корни нечетной кратности, поэтому знак будет чередоваться. Для $x > 2$ (например $x=3$) дробь положительна.

$(-\infty; -3]$ : $-$
$[-3; 0]$ : $+ $
$[0; 2)$ : $-$
$(2; +\infty)$ : $+$

Нам нужны интервалы, где выражение $\le 0$. Точку $x=2$ исключаем. Получаем $(-\infty, -3] \cup [0, 2)$. Ранее мы установили, что $x=1/3$ также является решением. Эта точка уже входит в интервал $[0, 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [0, 2)$.

5) $\frac{1 - 2x - 3x^2}{3x - x^2 - 5} \ge 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: $1 - 2x - 3x^2 = -(3x^2 + 2x - 1)$. Найдем корни $3x^2 + 2x - 1 = 0$. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16$. $x_1 = \frac{-2 - 4}{6} = -1$, $x_2 = \frac{-2 + 4}{6} = 1/3$. Значит, $3x^2 + 2x - 1 = 3(x+1)(x-1/3) = (x+1)(3x-1)$. Таким образом, числитель равен $-(x+1)(3x-1)$.

Знаменатель: $3x - x^2 - 5 = -(x^2 - 3x + 5)$. Найдем дискриминант для $x^2 - 3x + 5$: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен, выражение $x^2 - 3x + 5$ всегда положительно. Следовательно, знаменатель $-(x^2 - 3x + 5)$ всегда отрицателен.

Неравенство принимает вид:

$\frac{-(x+1)(3x-1)}{\text{отрицательное число}} \ge 0$

Разделив на отрицательное число (знаменатель), мы должны изменить знак неравенства:

$-(x+1)(3x-1) \le 0$

Умножим на $-1$ и снова сменим знак:

$(x+1)(3x-1) \ge 0$

Корни левой части: $x=-1$ и $x=1/3$. Это парабола с ветвями вверх, она принимает неотрицательные значения вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1/3, \infty)$.

6) $\frac{5x + 4}{x + 3} - \frac{x + 2}{1 - x} \le 0$

Приведем дроби к общему знаменателю. Сначала преобразуем вторую дробь:

$\frac{5x + 4}{x + 3} - \frac{x + 2}{-(x - 1)} \le 0$

$\frac{5x + 4}{x + 3} + \frac{x + 2}{x - 1} \le 0$

Общий знаменатель $(x + 3)(x - 1)$. Область допустимых значений: $x \ne -3, x \ne 1$.

$\frac{(5x + 4)(x - 1) + (x + 2)(x + 3)}{(x + 3)(x - 1)} \le 0$

Раскроем скобки в числителе:

$(5x^2 - 5x + 4x - 4) + (x^2 + 3x + 2x + 6) = 5x^2 - x - 4 + x^2 + 5x + 6 = 6x^2 + 4x + 2$.

Неравенство стало: $\frac{6x^2 + 4x + 2}{(x + 3)(x - 1)} \le 0$.

Рассмотрим числитель $6x^2 + 4x + 2 = 2(3x^2 + 2x + 1)$. Дискриминант для $3x^2 + 2x + 1$: $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен, числитель всегда положителен.

Поскольку числитель всегда положителен, знак дроби зависит только от знака знаменателя. Неравенство $\frac{\text{положительное число}}{\text{знаменатель}} \le 0$ равносильно тому, что знаменатель строго отрицателен (равенство нулю невозможно):

$(x + 3)(x - 1) < 0$

Корни: $x=-3$ и $x=1$. Это парабола с ветвями вверх, она отрицательна между корнями.

Ответ: $x \in (-3, 1)$.