Номер 9.7, страница 95 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.7, страница 95.

Условие.

9.7. Решите неравенство:

1) $\frac{x+3}{x-1} > 0$

2) $\frac{(x-2)(x+1)}{x-4} < 0$

3) $\frac{(2x+1)(x-3)}{(2-x)(x-5)} < 0$

4) $\frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{(x-8)(1-4x)} > 0$

5) $\frac{x^3 - x^2 + x - 1}{x+8} < 0$

6) $\frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2 - 4x - 5} > 0$

7) $\frac{(x-4)(x-3)(3x-7-x^2)}{x^2+x-2} > 0$

8) $\frac{x^6+3x^4-x^2-3}{x^3-64x} < 0$

Решение.

1)

Решим неравенство $\frac{x+3}{x-1} > 0$ методом интервалов.

1. Найдём нули числителя: $x+3=0 \Rightarrow x=-3$.

2. Найдём нули знаменателя (точки разрыва): $x-1=0 \Rightarrow x=1$.

3. Отметим точки -3 и 1 на числовой прямой. Так как неравенство строгое, точки будут выколотыми. Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 1)$ и $(1; \infty)$.

4. Определим знак выражения на каждом интервале, подставив в него любое значение из этого интервала:

• При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{2+3}{2-1} = 5 > 0$. Знак "+".
• При $-3 < x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{0+3}{0-1} = -3 < 0$. Знак "-".
• При $x < -3$ (например, $x=-4$): $\frac{-4+3}{-4-1} = \frac{-1}{-5} = \frac{1}{5} > 0$. Знак "+".

5. Поскольку мы решаем неравенство $\frac{x+3}{x-1} > 0$, нам нужны интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (1; \infty)$

2)

Решим неравенство $\frac{(x-2)(x+1)}{x-4} < 0$ методом интервалов.

1. Найдём нули числителя: $x-2=0 \Rightarrow x=2$; $x+1=0 \Rightarrow x=-1$.

2. Найдём нули знаменателя: $x-4=0 \Rightarrow x=4$.

3. Отметим точки -1, 2 и 4 на числовой прямой. Все точки выколотые. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 2)$, $(2; 4)$ и $(4; \infty)$.

4. Определим знак выражения в крайнем правом интервале (при $x > 4$, например, $x=5$): $\frac{(5-2)(5+1)}{5-4} = \frac{3 \cdot 6}{1} = 18 > 0$. Знак "+".

5. Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в интервалах будут чередоваться: "+", "-", "+", "-".

6. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля, то есть со знаком "-".

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (2; 4)$

3)

Решим неравенство $\frac{(2x+1)(x-3)}{(2-x)(x-5)} < 0$.

1. Приведём неравенство к стандартному виду, чтобы все $x$ были с положительным коэффициентом. Заметим, что $2-x = -(x-2)$.

$\frac{(2x+1)(x-3)}{-(x-2)(x-5)} < 0$

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства на противоположный:

$\frac{(2x+1)(x-3)}{(x-2)(x-5)} > 0$

2. Найдём нули числителя: $2x+1=0 \Rightarrow x=-1/2$; $x-3=0 \Rightarrow x=3$.

3. Найдём нули знаменателя: $x-2=0 \Rightarrow x=2$; $x-5=0 \Rightarrow x=5$.

4. Отметим точки -1/2, 2, 3, 5 на числовой прямой. Они разбивают её на пять интервалов.

5. Определим знаки методом интервалов. При $x > 5$ (например, $x=6$) все множители положительны, значит, выражение больше нуля. Знак "+".

6. Все корни имеют нечетную кратность, поэтому знаки чередуются: "+", "-", "+", "-", "+".

7. Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля, то есть со знаком "+".

Ответ: $x \in (-\infty; -1/2) \cup (2; 3) \cup (5; \infty)$

4)

Решим неравенство $\frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{(x-8)(1-4x)} > 0$.

1. Приведём множитель $(1-4x)$ к стандартному виду: $1-4x = -(4x-1)$.

$\frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{(x-8)(-(4x-1))} > 0$

Умножим обе части на -1, сменив знак неравенства:

$\frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{(x-8)(4x-1)} < 0$

2. Найдём нули числителя и знаменателя и их кратности:

• $x=0$ (кратность 3, нечетная)
• $x=1$ (кратность 4, четная)
• $x=-5$ (кратность 1, нечетная)
• $x=8$ (кратность 1, нечетная)
• $x=1/4$ (кратность 1, нечетная)

3. Отметим точки -5, 0, 1/4, 1, 8 на числовой прямой.

4. Определим знаки. В крайнем правом интервале (при $x>8$) выражение положительно. Знак "+".

5. Двигаясь справа налево, меняем знак при переходе через корень нечетной кратности и сохраняем знак при переходе через корень четной кратности (точка $x=1$).

Знаки по интервалам: $(8; \infty): +$; $(1; 8): -$; $(1/4; 1): -$; $(0; 1/4): +$; $(-5; 0): -$; $(-\infty; -5): +$.

6. Нам нужны интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-5; 0) \cup (1/4; 1) \cup (1; 8)$

5)

Решим неравенство $\frac{x^3 - x^2 + x - 1}{x+8} < 0$.

1. Разложим числитель на множители методом группировки:

$x^3 - x^2 + x - 1 = x^2(x-1) + 1(x-1) = (x^2+1)(x-1)$.

2. Неравенство принимает вид: $\frac{(x^2+1)(x-1)}{x+8} < 0$.

3. Выражение $x^2+1$ всегда положительно при любом действительном $x$ ($x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2+1 \ge 1$). Поэтому можно разделить обе части неравенства на $x^2+1$, не меняя знака.

$\frac{x-1}{x+8} < 0$.

4. Решаем полученное неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x=1$. Нули знаменателя: $x=-8$.

5. Отмечаем точки -8 и 1 на числовой прямой. Интервалы: $(-\infty; -8)$, $(-8; 1)$, $(1; \infty)$.

6. Знаки на интервалах: "+", "-", "+".

7. Нам нужен интервал со знаком "-".

Ответ: $x \in (-8; 1)$

6)

Решим неравенство $\frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2 - 4x - 5} > 0$.

1. Рассмотрим числитель $x^4 + x^2 + 1$. Так как $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$ для всех действительных $x$, то $x^4 + x^2 + 1 \ge 1$. Следовательно, числитель всегда положителен.

2. Поскольку числитель всегда положителен, знак дроби совпадает со знаком знаменателя. Таким образом, неравенство равносильно следующему:

$x^2 - 4x - 5 > 0$.

3. Найдём корни квадратного трёхчлена $x^2 - 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=5$ и $x_2=-1$.

4. Графиком функции $y=x^2 - 4x - 5$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

5. Таким образом, решение неравенства $x^2 - 4x - 5 > 0$ есть объединение двух интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (5; \infty)$

7)

Решим неравенство $\frac{(x-4)(x-3)(3x-7-x^2)}{x^2+x-2} > 0$.

1. Разложим на множители квадратные трёхчлены.

Знаменатель: $x^2+x-2=0$. Корни $x_1=1$, $x_2=-2$. Значит, $x^2+x-2 = (x-1)(x+2)$.

Множитель в числителе: $3x-7-x^2 = -(x^2-3x+7)$. Для $x^2-3x+7$ дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 9 - 28 = -19 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, $x^2-3x+7$ всегда больше нуля. Следовательно, множитель $-(x^2-3x+7)$ всегда отрицателен.

2. Неравенство принимает вид: $\frac{(x-4)(x-3) \cdot (\text{отрицательное число})}{(x-1)(x+2)} > 0$.

3. Разделим обе части на это отрицательное число, сменив знак неравенства:

$\frac{(x-4)(x-3)}{(x-1)(x+2)} < 0$.

4. Решаем методом интервалов. Корни: -2, 1, 3, 4. Все нечетной кратности.

5. Отмечаем точки на прямой и определяем знаки. В крайнем правом интервале $(4; \infty)$ выражение положительно. Знаки чередуются: "+", "-", "+", "-".

6. Нам нужны интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-2; 1) \cup (3; 4)$

8)

Решим неравенство $\frac{x^6 + 3x^4 - x^2 - 3}{x^3 - 64x} < 0$.

1. Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель: $x^6 + 3x^4 - x^2 - 3 = x^4(x^2+3) - (x^2+3) = (x^4-1)(x^2+3) = (x^2-1)(x^2+1)(x^2+3) = (x-1)(x+1)(x^2+1)(x^2+3)$.

Знаменатель: $x^3 - 64x = x(x^2-64) = x(x-8)(x+8)$.

2. Неравенство принимает вид: $\frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^2+3)}{x(x-8)(x+8)} < 0$.

3. Множители $(x^2+1)$ и $(x^2+3)$ всегда положительны, поэтому на знак дроби не влияют. Их можно отбросить (разделить на них обе части неравенства).

$\frac{(x-1)(x+1)}{x(x-8)(x+8)} < 0$.

4. Решаем методом интервалов. Корни: -8, -1, 0, 1, 8. Все нечетной кратности.

5. Отмечаем точки на прямой. В крайнем правом интервале $(8; \infty)$ выражение положительно. Знаки чередуются: "+", "-", "+", "-", "+", "-".

6. Нам нужны интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (-1; 0) \cup (1; 8)$