Номер 9.5, страница 95 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.5, страница 95.

Условие.

9.5. Решите неравенство:

1) $(2 - x)(3x + 5)(x^2 - x + 1) > 0;$

2) $(2x + 1)^2(x^2 - 4x + 3) > 0;$

3) $(3x^2 - 5x - 2)(2x^2 + x + 1) < 0;$

4) $3x^3 + 2x^2 - x < 0;$

5) $x^3 - 2x^2 - x + 2 > 0;$

6) $(2x^2 + 5x - 3)(2x^2 - 5x + 2) > 0.$

Решение.

1)

Рассмотрим неравенство $(2 - x)(3x + 5)(x^2 - x + 1) > 0$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - x + 1$ для определения его знака.
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Так как дискриминант $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), выражение $x^2 - x + 1$ всегда принимает положительные значения для любого $x$.

Поскольку множитель $(x^2 - x + 1)$ всегда положителен, мы можем разделить на него обе части неравенства, не меняя знака неравенства. Получим:
$(2 - x)(3x + 5) > 0$.

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $(2 - x)(3x + 5) = 0$.
$2 - x = 0 \implies x_1 = 2$.
$3x + 5 = 0 \implies 3x = -5 \implies x_2 = -5/3$.

Отметим корни $-5/3$ и $2$ на числовой прямой и определим знаки выражения $(2 - x)(3x + 5)$ в получившихся интервалах: $(-\infty, -5/3)$, $(-5/3, 2)$ и $(2, \infty)$.
- В интервале $(-\infty, -5/3)$, возьмем $x = -2$: $(2 - (-2))(3(-2) + 5) = 4 \cdot (-1) = -4 < 0$.
- В интервале $(-5/3, 2)$, возьмем $x = 0$: $(2 - 0)(3(0) + 5) = 2 \cdot 5 = 10 > 0$.
- В интервале $(2, \infty)$, возьмем $x = 3$: $(2 - 3)(3(3) + 5) = -1 \cdot 14 = -14 < 0$.

Так как мы ищем значения $x$, при которых выражение больше нуля, решением является интервал, где оно положительно.

Ответ: $x \in (-5/3, 2)$.

2)

Рассмотрим неравенство $(2x + 1)^2(x^2 - 4x + 3) > 0$.

Множитель $(2x + 1)^2$ всегда неотрицателен, т.е. $(2x + 1)^2 \ge 0$. Он равен нулю при $x = -1/2$. Поскольку неравенство строгое ($>0$), левая часть не может быть равна нулю, поэтому $x \ne -1/2$.
При $x \ne -1/2$, множитель $(2x + 1)^2$ строго положителен, и мы можем разделить на него неравенство, сохранив знак.

Получаем неравенство $x^2 - 4x + 3 > 0$ при условии $x \ne -1/2$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.
Разложим на множители: $(x - 1)(x - 3) > 0$.

Это парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется, когда $x$ находится за пределами корней, то есть $x < 1$ или $x > 3$.
Решение неравенства $x^2 - 4x + 3 > 0$ есть объединение интервалов $(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.

Теперь учтем условие $x \ne -1/2$. Так как $-1/2$ принадлежит интервалу $(-\infty, 1)$, мы должны исключить эту точку из решения.
Таким образом, интервал $(-\infty, 1)$ разбивается на два: $(-\infty, -1/2)$ и $(-1/2, 1)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1/2) \cup (-1/2, 1) \cup (3, \infty)$.

3)

Рассмотрим неравенство $(3x^2 - 5x - 2)(2x^2 + x + 1) < 0$.

Проанализируем знак множителя $2x^2 + x + 1$. Найдем его дискриминант:
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7$.
Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2 > 0$), выражение $2x^2 + x + 1$ всегда положительно при любом $x$.

Разделим обе части неравенства на положительный множитель $(2x^2 + x + 1)$, знак неравенства не изменится:
$3x^2 - 5x - 2 < 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $3x^2 - 5x - 2 = 0$.
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
$x_{1,2} = \frac{5 \pm 7}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 7}{6}$.
$x_1 = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$.
$x_2 = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -1/3$.

Графиком функции $y = 3x^2 - 5x - 2$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $3x^2 - 5x - 2 < 0$ выполняется между корнями.

Ответ: $x \in (-1/3, 2)$.

4)

Рассмотрим неравенство $3x^3 + 2x^2 - x < 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(3x^2 + 2x - 1) < 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 + 2x - 1 = 0$.
$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$.
$x_{1,2} = \frac{-2 \pm 4}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 4}{6}$.
$x_1 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = 1/3$.
$x_2 = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$.

Таким образом, неравенство можно переписать в виде:
$3x(x - 1/3)(x + 1) < 0$.

Решим его методом интервалов. Корни: $x=0$, $x=1/3$, $x=-1$.
Расположим корни на числовой прямой: $-1, 0, 1/3$. Они разбивают прямую на интервалы: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1/3)$ и $(1/3, \infty)$.
Определим знак выражения в каждом интервале:
- При $x < -1$ (например, $x=-2$): $3(-2)(-2-1/3)(-2+1) = (-)(-)(-) = -$.
- При $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$): $3(-0.5)(-0.5-1/3)(-0.5+1) = (-)(-)(+) = +$.
- При $0 < x < 1/3$ (например, $x=0.1$): $3(0.1)(0.1-1/3)(0.1+1) = (+)(-)(+) = -$.
- При $x > 1/3$ (например, $x=1$): $3(1)(1-1/3)(1+1) = (+)(+)(+) = +$.

Нас интересуют интервалы, где выражение отрицательно.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 1/3)$.

5)

Рассмотрим неравенство $x^3 - 2x^2 - x + 2 > 0$.

Разложим левую часть на множители методом группировки:
$(x^3 - 2x^2) - (x - 2) > 0$
$x^2(x - 2) - 1(x - 2) > 0$
$(x^2 - 1)(x - 2) > 0$
$(x - 1)(x + 1)(x - 2) > 0$.

Решим полученное неравенство методом интервалов. Корни: $x=1$, $x=-1$, $x=2$.
Расположим корни на числовой прямой: $-1, 1, 2$. Они разбивают прямую на интервалы: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, 2)$ и $(2, \infty)$.
Определим знак выражения в каждом интервале:
- При $x < -1$ (например, $x=-2$): $(-2-1)(-2+1)(-2-2) = (-)(-)(-) = -$.
- При $-1 < x < 1$ (например, $x=0$): $(0-1)(0+1)(0-2) = (-)(+)(-) = +$.
- При $1 < x < 2$ (например, $x=1.5$): $(1.5-1)(1.5+1)(1.5-2) = (+)(+)(-) = -$.
- При $x > 2$ (например, $x=3$): $(3-1)(3+1)(3-2) = (+)(+)(+) = +$.

Нас интересуют интервалы, где выражение положительно.

Ответ: $x \in (-1, 1) \cup (2, \infty)$.

6)

Рассмотрим неравенство $(2x^2 + 5x - 3)(2x^2 - 5x + 2) > 0$.

Разложим каждый квадратный трехчлен на множители.
Для первого $2x^2 + 5x - 3 = 0$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.
$x_{1,2} = \frac{-5 \pm 7}{4}$, откуда $x_1 = 1/2$, $x_2 = -3$.
$2x^2 + 5x - 3 = 2(x - 1/2)(x + 3)$.

Для второго $2x^2 - 5x + 2 = 0$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
$x_{3,4} = \frac{5 \pm 3}{4}$, откуда $x_3 = 2$, $x_4 = 1/2$.
$2x^2 - 5x + 2 = 2(x - 2)(x - 1/2)$.

Подставим разложения в исходное неравенство:
$2(x - 1/2)(x + 3) \cdot 2(x - 2)(x - 1/2) > 0$
$4(x - 1/2)^2(x + 3)(x - 2) > 0$.

Множитель $4(x - 1/2)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x = 1/2$. Так как неравенство строгое, $x \ne 1/2$.
При $x \ne 1/2$ этот множитель положителен, поэтому мы можем разделить на него неравенство, сохранив знак:
$(x + 3)(x - 2) > 0$ при условии $x \ne 1/2$.

Корни уравнения $(x + 3)(x - 2) = 0$ равны $x_1 = -3$, $x_2 = 2$.
Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется за пределами корней: $x < -3$ или $x > 2$.
Это соответствует объединению интервалов $(-\infty, -3) \cup (2, \infty)$.
Условие $x \ne 1/2$ уже выполняется, так как точка $1/2$ не входит в полученное решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)$.