Номер 9.1, страница 94 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.1, страница 94.

Условие.

9.1. Решите неравенство:

1) $(x+1)(x-2)(x+5) > 0;$

2) $x(x-3)(x+2) < 0;$

3) $(2x-1)(3-x)(x+1) < 0;$

4) $(x-3)(2x+1)(1-5x)(x+4) > 0.$

Решение.

1) Решим неравенство $(x + 1)(x - 2)(x + 5) > 0$ методом интервалов.

Сначала найдем нули левой части, решив уравнение $(x + 1)(x - 2)(x + 5) = 0$.

Корни уравнения (в порядке возрастания): $x_1 = -5$, $x_2 = -1$, $x_3 = 2$.

Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; -1)$, $(-1; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. Поскольку все множители имеют вид $(x-a)$ и их количество нечетно (три), в самом правом интервале $(2; +\infty)$ выражение будет положительным. При переходе через каждый корень знак будет меняться на противоположный.

Расставим знаки на интервалах:

$(-\infty; -5)$: минус (–)
$(-5; -1)$: плюс (+)
$(-1; 2)$: минус (–)
$(2; +\infty)$: плюс (+)

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Ответ: $x \in (-5; -1) \cup (2; +\infty)$.

2) Решим неравенство $x(x - 3)(x + 2) < 0$ методом интервалов.

Найдем нули левой части, решив уравнение $x(x - 3)(x + 2) = 0$.

Корни уравнения (в порядке возрастания): $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 3$.

Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Определим знаки на интервалах. В крайнем правом интервале $(3; +\infty)$ выражение будет положительным, далее знаки чередуются.

$(-\infty; -2)$: минус (–)
$(-2; 0)$: плюс (+)
$(0; 3)$: минус (–)
$(3; +\infty)$: плюс (+)

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак "–").

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (0; 3)$.

3) Решим неравенство $(2x - 1)(3 - x)(x + 1) < 0$.

Преобразуем неравенство так, чтобы коэффициент при $x$ в каждом множителе был положительным. Для этого вынесем "-1" из скобки $(3 - x)$:

$(2x - 1) \cdot (-(x - 3)) \cdot (x + 1) < 0$

$-(2x - 1)(x - 3)(x + 1) < 0$

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$(2x - 1)(x - 3)(x + 1) > 0$

Найдем нули левой части: $2x - 1 = 0 \implies x = 1/2$; $x - 3 = 0 \implies x = 3$; $x + 1 = 0 \implies x = -1$.

Корни в порядке возрастания: $x_1 = -1$, $x_2 = 1/2$, $x_3 = 3$.

Интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1/2)$, $(1/2; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Определим знаки на интервалах. В крайнем правом интервале $(3; +\infty)$ выражение положительно, далее знаки чередуются.

$(-\infty; -1)$: минус (–)
$(-1; 1/2)$: плюс (+)
$(1/2; 3)$: минус (–)
$(3; +\infty)$: плюс (+)

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Ответ: $x \in (-1; 1/2) \cup (3; +\infty)$.

4) Решим неравенство $(x - 3)(2x + 1)(1 - 5x)(x + 4) > 0$.

Преобразуем множитель $(1 - 5x)$, вынеся "-1" за скобки: $(1-5x) = -(5x-1)$.

$(x - 3)(2x + 1)(-(5x - 1))(x + 4) > 0$

$-(x - 3)(2x + 1)(5x - 1)(x + 4) > 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$(x - 3)(2x + 1)(5x - 1)(x + 4) < 0$

Найдем нули левой части: $x - 3 = 0 \implies x = 3$; $2x + 1 = 0 \implies x = -1/2$; $5x - 1 = 0 \implies x = 1/5$; $x + 4 = 0 \implies x = -4$.

Корни в порядке возрастания: $x_1 = -4$, $x_2 = -1/2$, $x_3 = 1/5$, $x_4 = 3$.

Интервалы: $(-\infty; -4)$, $(-4; -1/2)$, $(-1/2; 1/5)$, $(1/5; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Определим знаки на интервалах. В крайнем правом интервале $(3; +\infty)$ выражение положительно, далее знаки чередуются.

$(-\infty; -4)$: плюс (+)
$(-4; -1/2)$: минус (–)
$(-1/2; 1/5)$: плюс (+)
$(1/5; 3)$: минус (–)
$(3; +\infty)$: плюс (+)

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак "–").

Ответ: $x \in (-4; -1/2) \cup (1/5; 3)$.