Номер 9.6, страница 95 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.6, страница 95.

Условие.

9.6. Решите неравенство:

1) $(4-x)(3x+1)(x^4+x^2+1) < 0$;

2) $|x-3|(3x+2)^3(3x^2-5x+6) > 0$;

3) $x^3-6x+5 > 0$;

4) $(x^2-4)(3x^2+7x+2) > 0$.

Решение.

1)

Рассмотрим неравенство $(4 - x)(3x + 1)(x^4 + x^2 + 1) < 0$.

Проанализируем каждый множитель:

• Множитель $(x^4 + x^2 + 1)$. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$. Получим выражение $t^2 + t + 1$. Это квадратичный трехчлен относительно $t$. Его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как дискриминант отрицательный, а старший коэффициент (1) положительный, трехчлен $t^2 + t + 1$ всегда положителен при любом значении $t$. Следовательно, выражение $x^4 + x^2 + 1$ всегда положительно при любом действительном значении $x$.

Поскольку множитель $(x^4 + x^2 + 1)$ всегда положителен, мы можем разделить обе части неравенства на него, не меняя знака неравенства. Получим равносильное неравенство:

$(4 - x)(3x + 1) < 0$

Умножим обе части на -1, чтобы коэффициент при $x$ в первой скобке стал положительным, и изменим знак неравенства на противоположный:

$-(x - 4)(3x + 1) < 0$

$(x - 4)(3x + 1) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 4)(3x + 1) = 0$.

$x - 4 = 0 \implies x_1 = 4$

$3x + 1 = 0 \implies x_2 = -1/3$

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения в каждом из полученных интервалов:

(Здесь можно представить числовую прямую с точками -1/3 и 4, и знаками +, -, +)

Интервалы: $(-\infty, -1/3)$, $(-1/3, 4)$, $(4, +\infty)$.

• При $x \in (4, +\infty)$, например $x=5$: $(5 - 4)(3 \cdot 5 + 1) = 1 \cdot 16 = 16 > 0$.

• При $x \in (-1/3, 4)$, например $x=0$: $(0 - 4)(3 \cdot 0 + 1) = -4 \cdot 1 = -4 < 0$.

• При $x \in (-\infty, -1/3)$, например $x=-1$: $(-1 - 4)(3 \cdot (-1) + 1) = -5 \cdot (-2) = 10 > 0$.

Нам нужно, чтобы выражение было больше нуля, поэтому выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-\infty, -1/3) \cup (4, +\infty)$.

2)

Рассмотрим неравенство $|x - 3|(3x + 2)^3(3x^2 - 5x + 6) > 0$.

Проанализируем каждый множитель:

• Множитель $|x - 3|$. Модуль числа всегда неотрицателен, то есть $|x - 3| \ge 0$. Равенство нулю достигается при $x = 3$. Поскольку неравенство строгое ($>0$), то $x \neq 3$. При всех остальных $x$, $|x - 3| > 0$.

• Множитель $(3x^2 - 5x + 6)$. Это квадратичный трехчлен. Найдем его дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 25 - 72 = -47$. Так как дискриминант отрицательный, а старший коэффициент ($3 > 0$) положительный, то выражение $3x^2 - 5x + 6$ всегда положительно при любом $x$.

• Множитель $(3x + 2)^3$. Знак нечетной степени совпадает со знаком основания. Поэтому знак $(3x + 2)^3$ совпадает со знаком $(3x + 2)$.

Поскольку множители $|x - 3|$ (при $x \neq 3$) и $(3x^2 - 5x + 6)$ всегда положительны, знак всего произведения зависит только от знака множителя $(3x + 2)^3$.

Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} (3x + 2)^3 > 0 \\ x - 3 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$3x + 2 > 0$

$3x > -2$

$x > -2/3$

Учтем второе условие $x \neq 3$. Точка $x=3$ входит в найденный промежуток $x > -2/3$, поэтому ее нужно исключить.

Решением является объединение интервалов: $(-2/3, 3) \cup (3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-2/3, 3) \cup (3, +\infty)$.

3)

Решим неравенство $x^3 - 6x + 5 > 0$.

Для решения разложим многочлен $P(x) = x^3 - 6x + 5$ на множители. Попробуем найти целочисленные корни среди делителей свободного члена (5). Делители: $\pm 1, \pm 5$.

Проверим $x = 1$: $P(1) = 1^3 - 6(1) + 5 = 1 - 6 + 5 = 0$. Значит, $x = 1$ является корнем, а $(x-1)$ — одним из множителей.

Разделим многочлен $x^3 - 6x + 5$ на $(x - 1)$ (например, столбиком или по схеме Горнера), чтобы найти остальные множители.

$(x^3 - 6x + 5) : (x - 1) = x^2 + x - 5$

Таким образом, $x^3 - 6x + 5 = (x - 1)(x^2 + x - 5)$.

Неравенство принимает вид:

$(x - 1)(x^2 + x - 5) > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 5 = 0$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 1 + 20 = 21$

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}$

Итак, мы имеем три корня: $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{21}}{2}$, $x_2 = 1$, $x_3 = \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}$.

Приближенно оценим значения корней: $\sqrt{16} < \sqrt{21} < \sqrt{25}$, т.е. $4 < \sqrt{21} < 5$.

$x_1 \approx \frac{-1 - 4.6}{2} \approx -2.8$

$x_3 \approx \frac{-1 + 4.6}{2} \approx 1.8$

Расположим корни на числовой прямой в порядке возрастания: $\frac{-1 - \sqrt{21}}{2}$, $1$, $\frac{-1 + \sqrt{21}}{2}$.

Решим неравенство $(x - \frac{-1 - \sqrt{21}}{2})(x - 1)(x - \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}) > 0$ методом интервалов.

Определим знаки на интервалах. Так как старший коэффициент многочлена положителен, крайний правый интервал будет иметь знак "+". Далее знаки чередуются, так как все корни имеют нечетную кратность (1).

$( \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}, +\infty)$: $+$

$(1, \frac{-1 + \sqrt{21}}{2})$: $-$

$(\frac{-1 - \sqrt{21}}{2}, 1)$: $+$

$(-\infty, \frac{-1 - \sqrt{21}}{2})$: $-$

Выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (\frac{-1 - \sqrt{21}}{2}, 1) \cup (\frac{-1 + \sqrt{21}}{2}, +\infty)$.

4)

Решим неравенство $(x^2 - 4)(3x^2 + 7x + 2) > 0$.

Разложим каждый из квадратных трехчленов на множители.

Первый множитель: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ (разность квадратов).

Второй множитель: $3x^2 + 7x + 2$. Найдем его корни, решив уравнение $3x^2 + 7x + 2 = 0$.

$D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 = 5^2$

$x_1 = \frac{-7 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$

$x_2 = \frac{-7 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -1/3$

Следовательно, $3x^2 + 7x + 2 = 3(x - (-2))(x - (-1/3)) = 3(x + 2)(x + 1/3) = (x + 2)(3x + 1)$.

Подставим разложения в исходное неравенство:

$(x - 2)(x + 2)(x + 2)(3x + 1) > 0$

$(x + 2)^2(x - 2)(3x + 1) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни левой части: $x = -2$ (корень кратности 2), $x = 2$, $x = -1/3$.

Отметим корни на числовой прямой: $-2, -1/3, 2$.

Множитель $(x+2)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x = -2$. Так как неравенство строгое, $x \neq -2$. При $x \neq -2$ множитель $(x+2)^2$ положителен, и мы можем разделить на него неравенство, сохранив знак.

Получим равносильную систему:

$\begin{cases} (x - 2)(3x + 1) > 0 \\ x \neq -2 \end{cases}$

Решим неравенство $(x - 2)(3x + 1) > 0$. Его корни $x=2$ и $x=-1/3$. Ветви параболы $y=(x - 2)(3x + 1)$ направлены вверх, значит, выражение положительно вне интервала между корнями.

Решение: $x \in (-\infty, -1/3) \cup (2, +\infty)$.

Теперь учтем условие $x \neq -2$. Точка $-2$ принадлежит интервалу $(-\infty, -1/3)$, поэтому ее необходимо исключить. Для этого разбиваем этот интервал на два: $(-\infty, -2)$ и $(-2, -1/3)$.

Итоговое решение:

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1/3) \cup (2, +\infty)$.