Номер 9.9, страница 95 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.9, страница 95.

Условие.

9.9. Решите неравенство:

1) $\frac{1}{x} < 1;$

2) $\frac{1}{x+2} < \frac{3}{x-3};$

3) $\frac{x-1}{x} - \frac{x+1}{x-1} < 2;$

4) $\frac{2x-5}{x^2-6x-7} < \frac{1}{x-3};$

5) $\frac{7}{x^2-5x+6} + \frac{9}{x-3} < -1;$

6) $\frac{2}{3x+7} < \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+1}.$

Решение.

1) $\frac{1}{x} < 1$

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства, чтобы сравнить выражение с нулем:

$\frac{1}{x} - 1 < 0$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{1 - x}{x} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель равны нулю. Это $x = 1$ (из числителя $1-x=0$) и $x = 0$ (из знаменателя). Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, \infty)$.

Определим знак выражения $\frac{1 - x}{x}$ на каждом интервале:

• Если $x > 1$, например $x=2$, то $\frac{1-2}{2} = -0.5 < 0$. Интервал $(1, \infty)$ подходит.
• Если $0 < x < 1$, например $x=0.5$, то $\frac{1-0.5}{0.5} = 1 > 0$. Интервал $(0, 1)$ не подходит.
• Если $x < 0$, например $x=-1$, то $\frac{1-(-1)}{-1} = -2 < 0$. Интервал $(-\infty, 0)$ подходит.

Объединяем подходящие интервалы.

Ответ: $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.

2) $\frac{1}{x+2} < \frac{3}{x-3}$

Перенесем все в левую часть:

$\frac{1}{x+2} - \frac{3}{x-3} < 0$

Приведем к общему знаменателю $(x+2)(x-3)$:

$\frac{(x-3) - 3(x+2)}{(x+2)(x-3)} < 0$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{x-3-3x-6}{(x+2)(x-3)} < 0$

$\frac{-2x-9}{(x+2)(x-3)} < 0$

Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства:

$\frac{2x+9}{(x+2)(x-3)} > 0$

Найдем нули числителя и знаменателя: $2x+9=0 \Rightarrow x=-4.5$; $x+2=0 \Rightarrow x=-2$; $x-3=0 \Rightarrow x=3$.

Наносим точки $-4.5, -2, 3$ на числовую ось и определяем знаки на полученных интервалах. Так как все множители в первой степени, знаки будут чередоваться. Для $x > 3$ все множители положительны, значит, выражение больше нуля. Далее знаки чередуются: $(+), (-), (+), (-)$.

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля.

Ответ: $(-4.5, -2) \cup (3, \infty)$.

3) $\frac{x-1}{x} - \frac{x+1}{x-1} < 2$

Перенесем все в левую часть:

$\frac{x-1}{x} - \frac{x+1}{x-1} - 2 < 0$

Приведем к общему знаменателю $x(x-1)$:

$\frac{(x-1)(x-1) - x(x+1) - 2x(x-1)}{x(x-1)} < 0$

Упростим числитель:

$\frac{(x^2-2x+1) - (x^2+x) - (2x^2-2x)}{x(x-1)} < 0$

$\frac{x^2-2x+1 - x^2 - x - 2x^2 + 2x}{x(x-1)} < 0$

$\frac{-2x^2 - x + 1}{x(x-1)} < 0$

Умножим на $-1$ и сменим знак:

$\frac{2x^2 + x - 1}{x(x-1)} > 0$

Найдем корни числителя $2x^2 + x - 1 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4(2)(-1) = 9$. Корни $x_{1,2} = \frac{-1 \pm 3}{4}$, то есть $x_1 = -1$ и $x_2 = 1/2$. Тогда числитель раскладывается на $2(x+1)(x-1/2)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{2(x+1)(x-1/2)}{x(x-1)} > 0$

Нули числителя и знаменателя: $-1, 0, 1/2, 1$. Методом интервалов находим, что выражение положительно на интервалах $(-\infty, -1)$, $(0, 1/2)$ и $(1, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, -1) \cup (0, 1/2) \cup (1, \infty)$.

4) $\frac{2x-5}{x^2-6x-7} < \frac{1}{x-3}$

Разложим знаменатель $x^2-6x-7$ на множители. Корни уравнения $x^2-6x-7=0$ это $x_1=7, x_2=-1$. Значит, $x^2-6x-7 = (x-7)(x+1)$.

$\frac{2x-5}{(x-7)(x+1)} - \frac{1}{x-3} < 0$

Приведем к общему знаменателю $(x-7)(x+1)(x-3)$:

$\frac{(2x-5)(x-3) - 1(x-7)(x+1)}{(x-7)(x+1)(x-3)} < 0$

Упростим числитель:

$\frac{(2x^2-6x-5x+15) - (x^2+x-7x-7)}{(x-7)(x+1)(x-3)} < 0$

$\frac{2x^2-11x+15 - (x^2-6x-7)}{(x-7)(x+1)(x-3)} < 0$

$\frac{x^2 - 5x + 22}{(x-7)(x+1)(x-3)} < 0$

Рассмотрим числитель $x^2 - 5x + 22$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4(1)(22) = 25 - 88 = -63$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($1>0$), то числитель $x^2 - 5x + 22 > 0$ при любом $x$.

Следовательно, знак дроби зависит только от знака знаменателя:

$(x-7)(x+1)(x-3) < 0$

Нули знаменателя: $x=7, x=-1, x=3$. Методом интервалов получаем решение.

Ответ: $(-\infty, -1) \cup (3, 7)$.

5) $\frac{7}{x^2-5x+6} + \frac{9}{x-3} < -1$

Разложим знаменатель $x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$.

$\frac{7}{(x-2)(x-3)} + \frac{9}{x-3} + 1 < 0$

Приведем к общему знаменателю $(x-2)(x-3)$:

$\frac{7 + 9(x-2) + 1(x-2)(x-3)}{(x-2)(x-3)} < 0$

Упростим числитель:

$\frac{7 + 9x - 18 + x^2 - 5x + 6}{(x-2)(x-3)} < 0$

$\frac{x^2 + 4x - 5}{(x-2)(x-3)} < 0$

Разложим числитель $x^2 + 4x - 5$ на множители. Корни $x_1=1, x_2=-5$. Получаем $(x-1)(x+5)$.

$\frac{(x+5)(x-1)}{(x-2)(x-3)} < 0$

Нули числителя и знаменателя: $-5, 1, 2, 3$. Применяем метод интервалов. Находим интервалы, где выражение отрицательно.

Ответ: $(-5, 1) \cup (2, 3)$.

6) $\frac{2}{3x+7} < \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+1}$

Сначала упростим правую часть:

$\frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+1} = \frac{(x+1) - (x+3)}{(x+3)(x+1)} = \frac{-2}{(x+3)(x+1)}$

Неравенство принимает вид:

$\frac{2}{3x+7} < \frac{-2}{(x+3)(x+1)}$

Разделим обе части на 2:

$\frac{1}{3x+7} < \frac{-1}{(x+3)(x+1)}$

Перенесем все в левую часть:

$\frac{1}{3x+7} + \frac{1}{(x+3)(x+1)} < 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{(x+3)(x+1) + (3x+7)}{(3x+7)(x+3)(x+1)} < 0$

Упростим числитель:

$\frac{x^2+4x+3 + 3x+7}{(3x+7)(x+3)(x+1)} < 0$

$\frac{x^2+7x+10}{(3x+7)(x+3)(x+1)} < 0$

Разложим числитель $x^2+7x+10$ на множители. Корни $x_1=-2, x_2=-5$. Получаем $(x+2)(x+5)$.

$\frac{(x+5)(x+2)}{(3x+7)(x+3)(x+1)} < 0$

Нули числителя и знаменателя в порядке возрастания: $-5, -3, -7/3, -2, -1$. Применяем метод интервалов.

Ответ: $(-\infty, -5) \cup (-3, -7/3) \cup (-2, -1)$.