Номер 9.2, страница 94 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.2, страница 94.

Условие.

9.2. Решите неравенство:

1) $(x + 3)(x - 1)(x + 4) < 0;$

2) $(3x + 2)(x - 5)(4x - 1) > 0;$

3) $(1 - 3x)(x + 2)(3 - x) < 0;$

4) $x(5x + 3)(2 - x)(4x - 3)(x + 5) > 0.$

Решение.

1)

Решим неравенство $(x + 3)(x - 1)(x + 4) < 0$ методом интервалов.

Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x + 3)(x - 1)(x + 4) = 0$.

$x + 3 = 0 \Rightarrow x_1 = -3$

$x - 1 = 0 \Rightarrow x_2 = 1$

$x + 4 = 0 \Rightarrow x_3 = -4$

Отметим корни $-4$, $-3$, $1$ на числовой оси. Так как неравенство строгое, точки будут выколотыми. Эти точки разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty, -4)$, $(-4, -3)$, $(-3, 1)$, $(1, \infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x=2$: $(2 + 3)(2 - 1)(2 + 4) = 5 \cdot 1 \cdot 6 = 30 > 0$. Знак в интервале $(1, \infty)$ — плюс.

Так как все корни имеют кратность 1 (нечетную), знаки в интервалах чередуются. Двигаясь справа налево, получаем: плюс, минус, плюс, минус.

Схема знаков: $\quad - \quad (-4) \quad + \quad (-3) \quad - \quad (1) \quad + \quad$

Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше нуля, то есть интервалы со знаком минус.

Это интервалы $(-\infty, -4)$ и $(-3, 1)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-3, 1)$.

2)

Решим неравенство $(3x + 2)(x - 5)(4x - 1) > 0$ методом интервалов.

Найдем корни уравнения $(3x + 2)(x - 5)(4x - 1) = 0$.

$3x + 2 = 0 \Rightarrow 3x = -2 \Rightarrow x_1 = -\frac{2}{3}$

$x - 5 = 0 \Rightarrow x_2 = 5$

$4x - 1 = 0 \Rightarrow 4x = 1 \Rightarrow x_3 = \frac{1}{4}$

Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: $-\frac{2}{3}$, $\frac{1}{4}$, $5$. Точки выколотые. Они образуют интервалы: $(-\infty, -\frac{2}{3})$, $(-\frac{2}{3}, \frac{1}{4})$, $(\frac{1}{4}, 5)$, $(5, \infty)$.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(5, \infty)$, взяв, например, $x=6$: $(3 \cdot 6 + 2)(6 - 5)(4 \cdot 6 - 1) = 20 \cdot 1 \cdot 23 > 0$. Знак — плюс.

Все корни имеют нечетную кратность, поэтому знаки чередуются. Двигаясь справа налево, получаем: плюс, минус, плюс, минус.

Схема знаков: $\quad - \quad (-\frac{2}{3}) \quad + \quad (\frac{1}{4}) \quad - \quad (5) \quad + \quad$

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (знак плюс).

Это интервалы $(-\frac{2}{3}, \frac{1}{4})$ и $(5, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\frac{2}{3}, \frac{1}{4}) \cup (5, \infty)$.

3)

Решим неравенство $(1 - 3x)(x + 2)(3 - x) < 0$.

Для удобства приведем множители к стандартному виду $(kx - a)$, где $k > 0$.

$(1 - 3x) = -(3x - 1)$

$(3 - x) = -(x - 3)$

Неравенство принимает вид: $-(3x - 1)(x + 2)(-(x - 3)) < 0$.

Произведение двух отрицательных множителей дает положительный, поэтому неравенство эквивалентно следующему:

$(3x - 1)(x + 2)(x - 3) < 0$.

Найдем корни уравнения $(3x - 1)(x + 2)(x - 3) = 0$.

$3x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{1}{3}$

$x + 2 = 0 \Rightarrow x_2 = -2$

$x - 3 = 0 \Rightarrow x_3 = 3$

Отметим на числовой оси выколотые точки $-2$, $\frac{1}{3}$, $3$. Они образуют интервалы: $(-\infty, -2)$, $(-2, \frac{1}{3})$, $(\frac{1}{3}, 3)$, $(3, \infty)$.

Определим знак в крайнем правом интервале $(3, \infty)$, взяв $x=4$: $(3 \cdot 4 - 1)(4 + 2)(4 - 3) = 11 \cdot 6 \cdot 1 > 0$. Знак — плюс.

Знаки чередуются: плюс, минус, плюс, минус (справа налево).

Схема знаков: $\quad - \quad (-2) \quad + \quad (\frac{1}{3}) \quad - \quad (3) \quad + \quad$

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак минус).

Это интервалы $(-\infty, -2)$ и $(\frac{1}{3}, 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (\frac{1}{3}, 3)$.

4)

Решим неравенство $x(5x + 3)(2 - x)(4x - 3)(x + 5) > 0$.

Преобразуем множитель $(2 - x) = -(x - 2)$.

Неравенство становится: $x(5x + 3)(-(x - 2))(4x - 3)(x + 5) > 0$.

$-x(5x + 3)(x - 2)(4x - 3)(x + 5) > 0$.

Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$x(5x + 3)(x - 2)(4x - 3)(x + 5) < 0$.

Найдем корни соответствующего уравнения:

$x_1 = 0$

$5x + 3 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{3}{5}$

$x - 2 = 0 \Rightarrow x_3 = 2$

$4x - 3 = 0 \Rightarrow x_4 = \frac{3}{4}$

$x + 5 = 0 \Rightarrow x_5 = -5$

Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: $-5$, $-\frac{3}{5}$, $0$, $\frac{3}{4}$, $2$. Все точки выколотые.

Определим знак в крайнем правом интервале $(2, \infty)$ для выражения $x(5x + 3)(x - 2)(4x - 3)(x + 5)$. Возьмем $x=3$: $3(15+3)(3-2)(12-3)(3+5) > 0$. Знак — плюс.

Все корни имеют кратность 1, поэтому знаки чередуются: плюс, минус, плюс, минус, плюс, минус (справа налево).

Схема знаков: $\quad - \quad (-5) \quad + \quad (-\frac{3}{5}) \quad - \quad (0) \quad + \quad (\frac{3}{4}) \quad - \quad (2) \quad + \quad$

Мы ищем решения для неравенства $x(5x + 3)(x - 2)(4x - 3)(x + 5) < 0$, то есть интервалы со знаком минус.

Это интервалы $(-\infty, -5)$, $(-\frac{3}{5}, 0)$ и $(\frac{3}{4}, 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup (-\frac{3}{5}, 0) \cup (\frac{3}{4}, 2)$.