Номер 8.42, страница 88 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.42, страница 88.

Условие.

8.42. Решите уравнение $x^2 - 6\lfloor x \rfloor + 5 = 0$.

Решение.

Данное уравнение: $x^2 - 6[x] + 5 = 0$, где $[x]$ - это целая часть числа $x$ (антье), то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.

Пусть $[x] = n$, где $n$ — целое число ($n \in \mathbb{Z}$). По определению целой части, для $x$ выполняется неравенство: $n \le x < n+1$.

Подставим $[x] = n$ в исходное уравнение:

$x^2 - 6n + 5 = 0$

Отсюда выразим $x^2$:

$x^2 = 6n - 5$

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен ($x^2 \ge 0$), должно выполняться условие:

$6n - 5 \ge 0$

$6n \ge 5$

$n \ge \frac{5}{6}$

Так как $n$ — целое число, то $n \ge 1$.

Из условия $n \ge 1$ следует, что $x \ge [x] = n \ge 1$. Следовательно, $x$ является положительным числом. Тогда из $x^2 = 6n - 5$ получаем единственное положительное решение для $x$: $x = \sqrt{6n - 5}$.

Теперь подставим это выражение для $x$ в неравенство $n \le x < n+1$:

$n \le \sqrt{6n - 5} < n+1$

Поскольку $n \ge 1$, все части двойного неравенства положительны. Мы можем возвести их в квадрат, сохранив знаки неравенства:

$n^2 \le (\sqrt{6n - 5})^2 < (n+1)^2$

$n^2 \le 6n - 5 < n^2 + 2n + 1$

Это двойное неравенство равносильно системе из двух неравенств. Рассмотрим их по очереди.

Первое неравенство: $n^2 \le 6n - 5$. Перенеся все члены в левую часть, получим $n^2 - 6n + 5 \le 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $n^2 - 6n + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $n_1 = 1$ и $n_2 = 5$. Так как ветви параболы $y = n^2 - 6n + 5$ направлены вверх, неравенство выполняется на отрезке между корнями: $1 \le n \le 5$.

Второе неравенство: $6n - 5 < n^2 + 2n + 1$. Перенеся все члены в правую часть, получим $0 < n^2 - 4n + 6$. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $n^2 - 4n + 6$: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8$. Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент положителен (1 > 0), трехчлен $n^2 - 4n + 6$ положителен при любых значениях $n$. Следовательно, второе неравенство выполняется для всех целых $n$.

Объединяя результаты, мы должны найти целые числа $n$, которые удовлетворяют условиям $n \ge 1$ и $1 \le n \le 5$. Таким образом, возможные целые значения для $n$: $1, 2, 3, 4, 5$.

Теперь для каждого найденного значения $n$ найдем соответствующее значение $x$ по формуле $x = \sqrt{6n - 5}$ и проверим, выполняется ли условие $[x] = n$.

• При $n=1$: $x = \sqrt{6(1)-5} = \sqrt{1} = 1$. Проверка: $[1] = 1$. Условие выполняется.

• При $n=2$: $x = \sqrt{6(2)-5} = \sqrt{7}$. Проверка: $2^2=4$, $3^2=9$, поэтому $2 < \sqrt{7} < 3$, следовательно $[\sqrt{7}] = 2$. Условие выполняется.

• При $n=3$: $x = \sqrt{6(3)-5} = \sqrt{13}$. Проверка: $3^2=9$, $4^2=16$, поэтому $3 < \sqrt{13} < 4$, следовательно $[\sqrt{13}] = 3$. Условие выполняется.

• При $n=4$: $x = \sqrt{6(4)-5} = \sqrt{19}$. Проверка: $4^2=16$, $5^2=25$, поэтому $4 < \sqrt{19} < 5$, следовательно $[\sqrt{19}] = 4$. Условие выполняется.

• При $n=5$: $x = \sqrt{6(5)-5} = \sqrt{25} = 5$. Проверка: $[5] = 5$. Условие выполняется.

Таким образом, мы нашли все решения уравнения.

Ответ: $1, \sqrt{7}, \sqrt{13}, \sqrt{19}, 5$.