Номер 8.37, страница 88 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.37, страница 88.

Условие.

8.37. При каких значениях параметра $a$ уравнение имеет единственное решение:

1) $\frac{x^2 - (4 + 3a)x + 12a}{\sqrt{x^2 - 1}} = 0;$

2) $\frac{x^2 - 3ax - 3a - 1}{\sqrt{-x^2 + 3x - 2}} = 0?$

Решение.

1)

Исходное уравнение $\frac{x^2 - (4 + 3a)x + 12a}{\sqrt{x^2 - 1}} = 0$ равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - (4 + 3a)x + 12a = 0 \\ x^2 - 1 > 0 \end{cases} $

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) из неравенства $x^2 - 1 > 0$.

$x^2 > 1$, что означает $x < -1$ или $x > 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

Теперь решим квадратное уравнение $x^2 - (4 + 3a)x + 12a = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = (-(4 + 3a))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12a = (4 + 3a)^2 - 48a = 16 + 24a + 9a^2 - 48a = 9a^2 - 24a + 16 = (3a - 4)^2$.

Так как $D = (3a - 4)^2 \ge 0$ при любых $a$, уравнение всегда имеет корни.

Найдем корни уравнения:

$x = \frac{4 + 3a \pm \sqrt{(3a - 4)^2}}{2} = \frac{4 + 3a \pm (3a - 4)}{2}$.

$x_1 = \frac{4 + 3a + (3a - 4)}{2} = \frac{6a}{2} = 3a$.

$x_2 = \frac{4 + 3a - (3a - 4)}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Таким образом, корни числителя: $x_1 = 3a$ и $x_2 = 4$.

Уравнение будет иметь единственное решение, если только один из этих корней принадлежит ОДЗ.

Проверим корень $x_2 = 4$. Так как $4 > 1$, этот корень всегда принадлежит ОДЗ и является решением исходного уравнения.

Чтобы решение было единственным, нужно рассмотреть два случая для второго корня $x_1 = 3a$.

Случай 1: Корни совпадают.

Если $x_1 = x_2$, то $3a = 4$, откуда $a = \frac{4}{3}$. В этом случае дискриминант $D = (3 \cdot \frac{4}{3} - 4)^2 = 0$, и уравнение имеет один корень $x = 4$. Так как $x=4$ принадлежит ОДЗ, при $a = \frac{4}{3}$ исходное уравнение имеет единственное решение.

Случай 2: Корни различны, и корень $x_1 = 3a$ не принадлежит ОДЗ.

Корни различны при $a \neq \frac{4}{3}$. Корень $x_1 = 3a$ не принадлежит ОДЗ $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$, если он попадает в промежуток $[-1; 1]$.

То есть, $-1 \le 3a \le 1$.

Разделив неравенство на 3, получим: $-\frac{1}{3} \le a \le \frac{1}{3}$.

При этих значениях $a$ корень $x_1 = 3a$ не является решением исходного уравнения, и единственным решением остается $x = 4$. Значение $a = \frac{4}{3}$ не входит в этот промежуток.

Объединяя оба случая, получаем, что уравнение имеет единственное решение при $a = \frac{4}{3}$ и при $a \in [-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}]$.

Ответ: $a \in [-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}] \cup \{\frac{4}{3}\}$.

2)

Исходное уравнение $\frac{x^2 - 3ax - 3a - 1}{\sqrt{-x^2 + 3x - 2}} = 0$ равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - 3ax - 3a - 1 = 0 \\ -x^2 + 3x - 2 > 0 \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) из неравенства $-x^2 + 3x - 2 > 0$.

Умножим на -1: $x^2 - 3x + 2 < 0$.

Корнями уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ являются $x=1$ и $x=2$. Парабола $y = x^2 - 3x + 2$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется между корнями. Таким образом, ОДЗ: $x \in (1; 2)$.

Теперь решим квадратное уравнение $x^2 - 3ax - 3a - 1 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = (-3a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3a - 1) = 9a^2 + 12a + 4 = (3a + 2)^2$.

Так как $D = (3a + 2)^2 \ge 0$ при любых $a$, уравнение всегда имеет корни.

Найдем корни уравнения:

$x = \frac{3a \pm \sqrt{(3a + 2)^2}}{2} = \frac{3a \pm (3a + 2)}{2}$.

$x_1 = \frac{3a + (3a + 2)}{2} = \frac{6a + 2}{2} = 3a + 1$.

$x_2 = \frac{3a - (3a + 2)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Таким образом, корни числителя: $x_1 = 3a + 1$ и $x_2 = -1$.

Уравнение будет иметь единственное решение, если только один из этих корней принадлежит ОДЗ $x \in (1; 2)$.

Проверим корень $x_2 = -1$. Так как $-1$ не принадлежит интервалу $(1; 2)$, этот корень никогда не является решением исходного уравнения.

Следовательно, для того чтобы исходное уравнение имело единственное решение, необходимо, чтобы корень $x_1 = 3a + 1$ принадлежал ОДЗ, и при этом не совпадал с $x_2$.

1. Корень $x_1$ должен принадлежать ОДЗ:

$1 < 3a + 1 < 2$.

Решим это двойное неравенство:

$1 - 1 < 3a < 2 - 1$

$0 < 3a < 1$

$0 < a < \frac{1}{3}$.

2. Проверим случай, когда корни совпадают.

$x_1 = x_2 \Rightarrow 3a + 1 = -1 \Rightarrow 3a = -2 \Rightarrow a = -\frac{2}{3}$.

При $a = -\frac{2}{3}$ числитель имеет один корень $x = -1$, который не входит в ОДЗ. Значит, при $a = -\frac{2}{3}$ решений нет.

Интервал $a \in (0; \frac{1}{3})$ не содержит значение $a = -\frac{2}{3}$, поэтому при $a \in (0; \frac{1}{3})$ корни $x_1$ и $x_2$ различны.

Таким образом, единственное решение существует только тогда, когда $x_1 = 3a + 1$ находится в ОДЗ, что выполняется при $a \in (0; \frac{1}{3})$.

Ответ: $a \in (0; \frac{1}{3})$.