Номер 8.31, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.31, страница 87.

Условие.

8.31. При каких значениях параметра $a$ неравенство $x^2 - 4x + 3 < 0$ является следствием неравенства $x^2 - (3a - 1)x + 2a^2 - a < 0$?

Решение.

Утверждение, что неравенство $x^2 - 4x + 3 < 0$ является следствием неравенства $x^2 - (3a-1)x + 2a^2 - a < 0$, означает, что множество решений второго неравенства является подмножеством множества решений первого неравенства.

Сначала найдем множество решений первого неравенства: $x^2 - 4x + 3 < 0$. Корнями квадратного трехчлена $x^2 - 4x + 3$ являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Так как ветви параболы направлены вверх, решением неравенства является интервал между корнями: $x \in (1, 3)$.

Теперь найдем множество решений второго неравенства: $x^2 - (3a-1)x + 2a^2 - a < 0$. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения, вычислив дискриминант: $D = (-(3a-1))^2 - 4(1)(2a^2 - a) = 9a^2 - 6a + 1 - 8a^2 + 4a = a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$. Корни уравнения: $x = \frac{(3a-1) \pm \sqrt{(a-1)^2}}{2} = \frac{3a-1 \pm |a-1|}{2}$. Корнями являются $x_1 = a$ и $x_2 = 2a-1$.

Ветви параболы $y = x^2 - (3a-1)x + 2a^2 - a$ направлены вверх, поэтому решением неравенства является интервал между корнями. Рассмотрим три случая:

1. Если $a > 1$, то $2a-1 > a$. Множество решений $S_2 = (a, 2a-1)$. Чтобы это множество было подмножеством интервала $(1, 3)$, должны выполняться условия: $\begin{cases} a \ge 1 \\ 2a-1 \le 3 \end{cases} \implies \begin{cases} a \ge 1 \\ 2a \le 4 \end{cases} \implies \begin{cases} a \ge 1 \\ a \le 2 \end{cases}$. С учетом условия $a > 1$, получаем $a \in (1, 2]$.

2. Если $a < 1$, то $2a-1 < a$. Множество решений $S_2 = (2a-1, a)$. Чтобы это множество было подмножеством интервала $(1, 3)$, должны выполняться условия: $\begin{cases} 2a-1 \ge 1 \\ a \le 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 2a \ge 2 \\ a \le 3 \end{cases} \implies \begin{cases} a \ge 1 \\ a \le 3 \end{cases}$. Эта система, совместно с условием $a < 1$, не имеет решений.

3. Если $a = 1$, корни совпадают: $x_1 = x_2 = 1$. Неравенство принимает вид $(x-1)^2 < 0$, которое не имеет решений. Множество решений $S_2 = \emptyset$. Пустое множество является подмножеством любого множества, следовательно, $S_2 \subseteq (1, 3)$. Таким образом, $a=1$ является решением.

Объединяя результаты, полученные в случаях 1 и 3, находим все значения параметра $a$, удовлетворяющие условию задачи: $a \in [1, 2]$.

Ответ: $a \in [1, 2]$.