Номер 8.29, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.29, страница 87.

Условие.

8.29. Для каждого значения параметра a решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x^2 - 5x + 4 > 0, \\ x > a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 4x^2 - 3x - 1 \le 0, \\ x < a. \end{cases}$

Решение.

1)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - 5x + 4 > 0, \\ x > a. \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство: $x^2 - 5x + 4 > 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y = x^2 - 5x + 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 5x + 4 > 0$ выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями. Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 1) \cup (4, +\infty)$.

Теперь необходимо найти пересечение полученного множества решений с решением второго неравенства $x > a$, то есть с интервалом $(a, +\infty)$. Рассмотрим различные случаи расположения точки $a$ относительно точек $1$ и $4$.

1. Если $a < 1$.
Интервал $(a, +\infty)$ пересекается с обоими промежутками $(-\infty, 1)$ и $(4, +\infty)$. Пересечением множеств $(-\infty, 1) \cup (4, +\infty)$ и $(a, +\infty)$ будет множество $(a, 1) \cup (4, +\infty)$.
Решение системы: $x \in (a, 1) \cup (4, +\infty)$.

2. Если $1 \le a < 4$.
Интервал $(a, +\infty)$ не имеет общих точек с промежутком $(-\infty, 1)$, но пересекается с промежутком $(4, +\infty)$.
Решение системы: $x \in (4, +\infty)$.

3. Если $a \ge 4$.
Интервал $(a, +\infty)$ является подмножеством интервала $(4, +\infty)$.
Решение системы: $x \in (a, +\infty)$.

Ответ: если $a < 1$, то $x \in (a, 1) \cup (4, +\infty)$; если $1 \le a < 4$, то $x \in (4, +\infty)$; если $a \ge 4$, то $x \in (a, +\infty)$.

2)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} 4x^2 - 3x - 1 \le 0, \\ x < a. \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство: $4x^2 - 3x - 1 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 - 3x - 1 = 0$.
Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3 - 5}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$ и $x_2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3 + 5}{8} = 1$.

Графиком функции $y = 4x^2 - 3x - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $4x^2 - 3x - 1 \le 0$ выполняется при значениях $x$ между корнями, включая сами корни. Таким образом, решение первого неравенства: $x \in [-\frac{1}{4}, 1]$.

Теперь необходимо найти пересечение полученного множества решений с решением второго неравенства $x < a$, то есть с интервалом $(-\infty, a)$. Рассмотрим различные случаи расположения точки $a$ относительно точек $-\frac{1}{4}$ и $1$.

1. Если $a \le -\frac{1}{4}$.
Интервал $(-\infty, a)$ и отрезок $[-\frac{1}{4}, 1]$ не имеют общих точек. Их пересечение пусто.
Решений нет.

2. Если $-\frac{1}{4} < a \le 1$.
Интервал $(-\infty, a)$ частично пересекается с отрезком $[-\frac{1}{4}, 1]$. Общей частью является промежуток от $-\frac{1}{4}$ (включительно) до $a$ (не включительно).
Решение системы: $x \in [-\frac{1}{4}, a)$.

3. Если $a > 1$.
Интервал $(-\infty, a)$ полностью содержит отрезок $[-\frac{1}{4}, 1]$.
Решением системы будет весь отрезок $x \in [-\frac{1}{4}, 1]$.

Ответ: если $a \le -\frac{1}{4}$, то решений нет; если $-\frac{1}{4} < a \le 1$, то $x \in [-\frac{1}{4}, a)$; если $a > 1$, то $x \in [-\frac{1}{4}, 1]$.