Номер 8.27, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.27, страница 87.

Условие.

8.27. При каких значениях параметра а функция $y = -4x^2 - 16x + a$ принимает отрицательные значения при всех действительных значениях $x$?

Решение.

Заданная функция $y = -4x^2 - 16x + a$ является квадратичной. Графиком этой функции является парабола.

Коэффициент при $x^2$ равен $-4$, что является отрицательным числом. Это означает, что ветви параболы направлены вниз.

Для того чтобы функция принимала отрицательные значения при всех действительных значениях $x$ (то есть $y < 0$ для любого $x$), необходимо, чтобы вся парабола находилась ниже оси абсцисс (оси Ox). Это условие будет выполнено, если парабола не имеет точек пересечения или касания с осью Ox.

Отсутствие точек пересечения с осью Ox означает, что квадратное уравнение $-4x^2 - 16x + a = 0$ не имеет действительных корней. Это происходит, когда дискриминант (D) уравнения строго меньше нуля.

Найдем дискриминант для уравнения $-4x^2 - 16x + a = 0$. Коэффициенты данного уравнения: $A = -4$, $B = -16$, $C = a$.

Формула дискриминанта: $D = B^2 - 4AC$.

Подставим значения коэффициентов в формулу:

$D = (-16)^2 - 4 \cdot (-4) \cdot a = 256 + 16a$

Теперь решим неравенство $D < 0$, чтобы найти требуемые значения параметра $a$:

$256 + 16a < 0$

Перенесем 256 в правую часть неравенства, изменив знак:

$16a < -256$

Разделим обе части неравенства на 16:

$a < -\frac{256}{16}$

$a < -16$

Таким образом, при значениях параметра $a$ строго меньше -16, функция будет принимать отрицательные значения при всех действительных $x$.

Ответ: $a < -16$