Номер 8.28, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.28, страница 87.

Условие.

8.28. При каких значениях параметра $a$ неравенство $ax^2 + (2 - a)x + 3 - 2a < 0$ имеет единственное решение?

Решение.

Рассмотрим данное неравенство: $ax^2 + (2 - a)x + 3 - 2a \le 0$.

Чтобы неравенство имело единственное решение, необходимо проанализировать два случая в зависимости от значения параметра $a$.

Случай 1: $a = 0$

При $a = 0$ неравенство становится линейным:

$(2 - 0)x + 3 - 2(0) \le 0$

$2x + 3 \le 0$

$x \le -1.5$

Решением является числовой луч $(-\infty, -1.5]$, который содержит бесконечное множество точек. Следовательно, $a = 0$ не является решением задачи.

Случай 2: $a \neq 0$

При $a \neq 0$ левая часть неравенства является квадратичной функцией $f(x) = ax^2 + (2 - a)x + 3 - 2a$, график которой — парабола.

Неравенство $f(x) \le 0$ имеет единственное решение тогда и только тогда, когда парабола целиком лежит в верхней полуплоскости ($f(x) \ge 0$ для всех $x$) и касается оси абсцисс в одной точке (в своей вершине).

Это возможно только при одновременном выполнении двух условий:

1. Ветви параболы направлены вверх, то есть старший коэффициент $a > 0$.

2. Квадратное уравнение $ax^2 + (2 - a)x + 3 - 2a = 0$ имеет ровно один корень, что эквивалентно равенству дискриминанта нулю: $D = 0$.

(Если бы ветви параболы были направлены вниз, $a < 0$, то при $D=0$ или $D<0$ неравенство $f(x) \le 0$ имело бы бесконечно много решений).

Таким образом, мы должны решить систему:

$\begin{cases} a > 0 \\ D = 0 \end{cases}$

Найдем дискриминант $D$ для уравнения $ax^2 + (2 - a)x + 3 - 2a = 0$:

$D = (2 - a)^2 - 4a(3 - 2a) = 4 - 4a + a^2 - 12a + 8a^2 = 9a^2 - 16a + 4$.

Приравняем дискриминант к нулю:

$9a^2 - 16a + 4 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $a$:

$a = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4}}{2 \cdot 9} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 144}}{18} = \frac{16 \pm \sqrt{112}}{18}$.

Так как $\sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$, получаем:

$a = \frac{16 \pm 4\sqrt{7}}{18} = \frac{8 \pm 2\sqrt{7}}{9}$.

Мы получили два корня:

$a_1 = \frac{8 + 2\sqrt{7}}{9}$ и $a_2 = \frac{8 - 2\sqrt{7}}{9}$.

Остается проверить выполнение условия $a > 0$ для каждого корня.

Корень $a_1 = \frac{8 + 2\sqrt{7}}{9}$ очевидно положителен, так как все слагаемые в числителе и знаменателе положительны.

Для корня $a_2 = \frac{8 - 2\sqrt{7}}{9}$ нужно проверить знак числителя $8 - 2\sqrt{7}$. Сравним $8$ и $2\sqrt{7}$. Так как оба числа положительны, можно сравнить их квадраты: $8^2 = 64$ и $(2\sqrt{7})^2 = 4 \cdot 7 = 28$. Поскольку $64 > 28$, то $8 > 2\sqrt{7}$, и числитель $8 - 2\sqrt{7}$ положителен. Значит, $a_2 > 0$.

Оба найденных значения $a$ удовлетворяют всем условиям.

Ответ: $a = \frac{8 - 2\sqrt{7}}{9}, a = \frac{8 + 2\sqrt{7}}{9}$.