Номер 8.23, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.23, страница 87.

Условие.

8.23. Решите неравенство:

1) $ |x^2 + 5x| < 6; $

2) $ |x^2 + 3x| < x + 4; $

3) $ x^2 - x - 2 < |5x - 3|; $

4) $ |x^2 - 3x| \geq x + 5; $

5) $ x|3x - 1| < -2; $

6) $ x^2 + |x - 3| - 9 < 0. $

Решение.

1) $|x^2 + 5x| < 6$

Данное неравенство равносильно двойному неравенству $-6 < x^2 + 5x < 6$. Это, в свою очередь, равносильно системе из двух неравенств, которые должны выполняться одновременно:

1. $x^2 + 5x < 6$

2. $x^2 + 5x > -6$

Решим первое неравенство: $x^2 + 5x - 6 < 0$.

Найдём корни квадратного уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = -6$.

Так как ветви параболы $y = x^2 + 5x - 6$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями. Решение: $x \in (-6, 1)$.

Решим второе неравенство: $x^2 + 5x + 6 > 0$.

Найдём корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$, $x_2 = -3$.

Так как ветви параболы $y = x^2 + 5x + 6$ направлены вверх, неравенство выполняется вне корней. Решение: $x \in (-\infty, -3) \cup (-2, +\infty)$.

Найдём пересечение полученных решений: $(-6, 1) \cap ((-\infty, -3) \cup (-2, +\infty))$.

Итоговое решение: $x \in (-6, -3) \cup (-2, 1)$.

Ответ: $x \in (-6, -3) \cup (-2, 1)$.

2) $|x^2 + 3x| < x + 4$

Неравенство вида $|f(x)| < g(x)$ имеет смысл только при $g(x) > 0$. Таким образом, должно выполняться условие $x + 4 > 0$, то есть $x > -4$.

При этом условии неравенство равносильно двойному неравенству $-(x + 4) < x^2 + 3x < x + 4$. Это система из двух неравенств:

1. $x^2 + 3x < x + 4$

2. $x^2 + 3x > -(x + 4)$

Решим первое неравенство: $x^2 + 2x - 4 < 0$.

Найдём корни уравнения $x^2 + 2x - 4 = 0$. Дискриминант $D = 2^2 - 4(1)(-4) = 20$. Корни $x = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$.

Решение неравенства: $x \in (-1 - \sqrt{5}, -1 + \sqrt{5})$.

Решим второе неравенство: $x^2 + 3x > -x - 4$, что равносильно $x^2 + 4x + 4 > 0$.

Это выражение является полным квадратом: $(x + 2)^2 > 0$. Неравенство верно для всех $x$, кроме $x = -2$.

Теперь найдём пересечение всех трёх условий: $x > -4$, $x \in (-1 - \sqrt{5}, -1 + \sqrt{5})$ и $x \neq -2$.

Так как $\sqrt{5} \approx 2.24$, то $-1 - \sqrt{5} \approx -3.24$, что больше $-4$. Таким образом, условие $x > -4$ уже включено в интервал $(-1 - \sqrt{5}, -1 + \sqrt{5})$.

Точка $x = -2$ находится внутри этого интервала, поэтому её нужно исключить.

Итоговое решение: $x \in (-1 - \sqrt{5}, -2) \cup (-2, -1 + \sqrt{5})$.

Ответ: $x \in (-1 - \sqrt{5}, -2) \cup (-2, -1 + \sqrt{5})$.

3) $x^2 - x - 2 < |5x - 3|$

Неравенство вида $f(x) < |g(x)|$ равносильно совокупности двух неравенств:

$f(x) < g(x)$ или $f(x) < -g(x)$, что эквивалентно $g(x) > f(x)$ или $-g(x) > f(x) \implies g(x) < -f(x)$.

1. $5x - 3 > x^2 - x - 2 \implies x^2 - 6x + 1 < 0$.

Найдём корни $x^2 - 6x + 1 = 0$. $D = (-6)^2 - 4(1)(1) = 32$. Корни $x = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$.

Решение: $x \in (3 - 2\sqrt{2}, 3 + 2\sqrt{2})$.

2. $5x - 3 < -(x^2 - x - 2) \implies 5x - 3 < -x^2 + x + 2 \implies x^2 + 4x - 5 < 0$.

Найдём корни $x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = -5$.

Решение: $x \in (-5, 1)$.

Общее решение является объединением решений этих двух неравенств: $(3 - 2\sqrt{2}, 3 + 2\sqrt{2}) \cup (-5, 1)$.

Так как $3 - 2\sqrt{2} \approx 3 - 2 \cdot 1.41 = 0.18$, то $1$ находится внутри первого интервала. Объединяя интервалы, получаем $(-5, 3 + 2\sqrt{2})$.

Ответ: $x \in (-5, 3 + 2\sqrt{2})$.

4) $|x^2 - 3x| \ge x + 5$

Неравенство вида $|f(x)| \ge g(x)$ равносильно совокупности двух неравенств:

$f(x) \ge g(x)$ или $f(x) \le -g(x)$.

1. $x^2 - 3x \ge x + 5 \implies x^2 - 4x - 5 \ge 0$.

Найдём корни $x^2 - 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 5$, $x_2 = -1$.

Решение: $x \in (-\infty, -1] \cup [5, +\infty)$.

2. $x^2 - 3x \le -(x + 5) \implies x^2 - 3x \le -x - 5 \implies x^2 - 2x + 5 \le 0$.

Найдём дискриминант уравнения $x^2 - 2x + 5 = 0$. $D = (-2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16$.

Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен, выражение $x^2 - 2x + 5$ всегда больше нуля. Следовательно, это неравенство не имеет решений.

Общее решение является объединением решений, то есть решением первого неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [5, +\infty)$.

5) $x|3x - 1| < -2$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge 0$.

В этом случае левая часть $x|3x-1|$ неотрицательна. Неотрицательное число не может быть меньше отрицательного числа $-2$. Следовательно, при $x \ge 0$ решений нет.

Случай 2: $x < 0$.

Так как $x < 0$, выражение $3x - 1$ также отрицательно. Значит, $|3x - 1| = -(3x - 1) = 1 - 3x$.

Неравенство принимает вид: $x(1 - 3x) < -2$.

$x - 3x^2 < -2 \implies 0 < 3x^2 - x - 2 \implies 3x^2 - x - 2 > 0$.

Найдём корни уравнения $3x^2 - x - 2 = 0$. $D = (-1)^2 - 4(3)(-2) = 1 + 24 = 25$.

Корни $x = \frac{1 \pm 5}{6}$, то есть $x_1 = 1$ и $x_2 = -2/3$.

Решение квадратного неравенства: $x \in (-\infty, -2/3) \cup (1, +\infty)$.

Учитывая условие этого случая ($x < 0$), находим пересечение: $x \in (-\infty, -2/3)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty, -2/3)$.

6) $x^2 + |x - 3| - 9 < 0$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x - 3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.

Тогда $|x - 3| = x - 3$. Неравенство принимает вид:

$x^2 + (x - 3) - 9 < 0 \implies x^2 + x - 12 < 0$.

Найдём корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$, $x_2 = -4$.

Решение квадратного неравенства: $x \in (-4, 3)$.

Найдём пересечение этого решения с условием $x \ge 3$. Пересечение является пустым множеством, так как интервал $(-4, 3)$ не включает точку $3$.

Случай 2: $x - 3 < 0$, то есть $x < 3$.

Тогда $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$. Неравенство принимает вид:

$x^2 + (3 - x) - 9 < 0 \implies x^2 - x - 6 < 0$.

Найдём корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$, $x_2 = -2$.

Решение квадратного неравенства: $x \in (-2, 3)$.

Найдём пересечение этого решения с условием $x < 3$. Пересечение даёт $x \in (-2, 3)$.

Общее решение неравенства - это объединение решений из обоих случаев. Объединение пустого множества и интервала $(-2, 3)$ дает интервал $(-2, 3)$.

Ответ: $x \in (-2, 3)$.