Номер 8.26, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.26, страница 87.

Условие.

8.26. При каких значениях параметра $a$ функция $y = 0,5x^2 - 3x + a$ принимает неотрицательные значения при всех действительных значениях $x$?

Решение.

Данная функция $y = 0,5x^2 - 3x + a$ является квадратичной, её график — парабола.

Условие "принимает неотрицательные значения при всех действительных значениях $x$" означает, что $y \ge 0$ для любого действительного числа $x$. Таким образом, необходимо найти все значения параметра $a$, при которых неравенство $0,5x^2 - 3x + a \ge 0$ выполняется для всех $x$.

Так как коэффициент при $x^2$ равен $0,5$ (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Чтобы квадратичная функция с ветвями параболы, направленными вверх, была всегда неотрицательной, её график должен располагаться выше оси абсцисс или касаться её в одной точке (вершине). Это означает, что соответствующее квадратное уравнение $0,5x^2 - 3x + a = 0$ должно иметь не более одного действительного корня (то есть один корень или не иметь корней совсем).

Условием для этого является неположительный дискриминант ($D \le 0$) квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$.

В нашем случае коэффициенты равны: $A = 0,5$, $B = -3$, $C = a$.

Вычислим дискриминант: $D = B^2 - 4AC = (-3)^2 - 4 \cdot 0,5 \cdot a = 9 - 2a$.

Теперь решим неравенство $D \le 0$: $9 - 2a \le 0$

Перенесем $2a$ в правую часть: $9 \le 2a$

Разделим обе части на 2: $a \ge \frac{9}{2}$ $a \ge 4,5$

Следовательно, при $a \ge 4,5$ функция принимает неотрицательные значения при всех действительных значениях $x$.

Ответ: $a \ge 4,5$.