Номер 8.24, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.24, страница 87.

Условие.

8.24. При каких значениях параметра $a$ данное неравенство выполняется при всех действительных значениях $x$:

1) $x^2 - 4x + a > 0;$

2) $x^2 + (a - 1)x + 1 - a - a^2 \ge 0;$

3) $(a - 1)x^2 - (a + 1)x + a + 1 > 0;$

4) $(a - 3)x^2 - 2ax + 3a - 6 > 0?$

Решение.

1) $x^2 - 4x + a > 0$

Данное неравенство является квадратным относительно переменной $x$. Графиком функции $y = x^2 - 4x + a$ является парабола. Чтобы неравенство $y > 0$ выполнялось для всех действительных значений $x$, необходимо, чтобы парабола была расположена полностью выше оси абсцисс. Это возможно при выполнении двух условий:

• Коэффициент при $x^2$ должен быть положительным. В данном случае он равен $1$, и условие $1 > 0$ выполняется.
• Дискриминант квадратного трехчлена должен быть отрицательным, чтобы у параболы не было точек пересечения с осью абсцисс.

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 16 - 4a$

Решим неравенство $D < 0$:

$16 - 4a < 0$

$16 < 4a$

$a > 4$

Таким образом, неравенство выполняется при всех действительных $x$, если $a > 4$.

Ответ: $a \in (4; +\infty)$.

2) $x^2 + (a - 1)x + 1 - a - a^2 \ge 0$

Это квадратное неравенство. Графиком функции $y = x^2 + (a - 1)x + 1 - a - a^2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$.

Для того чтобы неравенство $y \ge 0$ выполнялось для всех действительных $x$, парабола должна быть расположена выше оси абсцисс или касаться ее. Это означает, что квадратный трехчлен должен иметь не более одного действительного корня. Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ меньше или равен нулю.

Найдем дискриминант:

$D = (a - 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - a - a^2) = (a^2 - 2a + 1) - 4 + 4a + 4a^2 = 5a^2 + 2a - 3$

Решим неравенство $D \le 0$:

$5a^2 + 2a - 3 \le 0$

Найдем корни уравнения $5a^2 + 2a - 3 = 0$:

$a_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3)}}{2 \cdot 5} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{10} = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{10} = \frac{-2 \pm 8}{10}$

$a_1 = \frac{-2 - 8}{10} = -1$

$a_2 = \frac{-2 + 8}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Парабола $y = 5a^2 + 2a - 3$ ветвями вверх, поэтому неравенство $5a^2 + 2a - 3 \le 0$ выполняется между корнями (включая корни).

Следовательно, $-1 \le a \le \frac{3}{5}$.

Ответ: $a \in [-1; \frac{3}{5}]$.

3) $(a - 1)x^2 - (a + 1)x + a + 1 > 0$

Это неравенство, содержащее параметр в старшем коэффициенте. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

$a - 1 = 0 \Rightarrow a = 1$

Подставим $a = 1$ в исходное неравенство:

$(1 - 1)x^2 - (1 + 1)x + 1 + 1 > 0$

$-2x + 2 > 0$

$-2x > -2$

$x < 1$

Это неравенство выполняется не для всех действительных $x$, поэтому $a = 1$ не является решением.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю, $a - 1 \ne 0$.

Для того чтобы квадратный трехчлен был положителен для всех $x$, необходимо, чтобы парабола была направлена ветвями вверх и не имела точек пересечения с осью абсцисс. Это равносильно системе двух условий:

$\begin{cases} a - 1 > 0 \\ D < 0 \end{cases}$

Первое условие: $a - 1 > 0 \Rightarrow a > 1$.

Второе условие: Найдем дискриминант $D$.

$D = (-(a + 1))^2 - 4(a - 1)(a + 1) = (a + 1)^2 - 4(a^2 - 1) = a^2 + 2a + 1 - 4a^2 + 4 = -3a^2 + 2a + 5$

Решим неравенство $D < 0$:

$-3a^2 + 2a + 5 < 0$

$3a^2 - 2a - 5 > 0$

Найдем корни уравнения $3a^2 - 2a - 5 = 0$:

$a_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5)}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6} = \frac{2 \pm 8}{6}$

$a_1 = \frac{2 - 8}{6} = -1$

$a_2 = \frac{2 + 8}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

Парабола $y = 3a^2 - 2a - 5$ ветвями вверх, поэтому неравенство $3a^2 - 2a - 5 > 0$ выполняется при $a < -1$ или $a > \frac{5}{3}$.

Теперь объединим решения системы:

$\begin{cases} a > 1 \\ a \in (-\infty; -1) \cup (\frac{5}{3}; +\infty) \end{cases}$

Пересечением этих условий является интервал $a > \frac{5}{3}$.

Ответ: $a \in (\frac{5}{3}; +\infty)$.

4) $(a - 3)x^2 - 2ax + 3a - 6 > 0$

Рассмотрим два случая в зависимости от коэффициента при $x^2$.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

$a - 3 = 0 \Rightarrow a = 3$

Подставим $a = 3$ в неравенство:

$(3 - 3)x^2 - 2(3)x + 3(3) - 6 > 0$

$-6x + 9 - 6 > 0$

$-6x + 3 > 0$

$-6x > -3$

$x < \frac{1}{2}$

Неравенство выполняется не для всех $x$, поэтому $a = 3$ не является решением.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю, $a - 3 \ne 0$.

Чтобы неравенство выполнялось для всех $x$, парабола должна быть направлена ветвями вверх и не пересекать ось абсцисс. Это соответствует системе условий:

$\begin{cases} a - 3 > 0 \\ D < 0 \end{cases}$

Первое условие: $a - 3 > 0 \Rightarrow a > 3$.

Второе условие: Найдем дискриминант $D$.

$D = (-2a)^2 - 4(a - 3)(3a - 6) = 4a^2 - 4(3a^2 - 6a - 9a + 18) = 4a^2 - 4(3a^2 - 15a + 18) = 4a^2 - 12a^2 + 60a - 72 = -8a^2 + 60a - 72$

Решим неравенство $D < 0$:

$-8a^2 + 60a - 72 < 0$

Разделим на -4 (знак неравенства изменится):

$2a^2 - 15a + 18 > 0$

Найдем корни уравнения $2a^2 - 15a + 18 = 0$:

$a_{1,2} = \frac{15 \pm \sqrt{(-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18}}{2 \cdot 2} = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 144}}{4} = \frac{15 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{15 \pm 9}{4}$

$a_1 = \frac{15 - 9}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$a_2 = \frac{15 + 9}{4} = \frac{24}{4} = 6$

Парабола $y = 2a^2 - 15a + 18$ ветвями вверх, поэтому неравенство $2a^2 - 15a + 18 > 0$ выполняется при $a < \frac{3}{2}$ или $a > 6$.

Теперь объединим решения системы:

$\begin{cases} a > 3 \\ a \in (-\infty; \frac{3}{2}) \cup (6; +\infty) \end{cases}$

Пересечением этих условий является интервал $a > 6$.

Ответ: $a \in (6; +\infty)$.