Номер 8.18, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.18, страница 86.

Условие.

8.18. Найдите область определения функции:

1) $y = \frac{5}{\sqrt{x^2 - 4x - 12}} + \sqrt{x+1};$

2) $y = \frac{x-3}{\sqrt{18+3x-x^2}} + \frac{8}{x-5};$

3) $y = \sqrt{x^2 - 5x - 14} - \frac{9}{x^2 - 81};$

4) $y = \frac{1}{\sqrt{6-7x-3x^2}} + \frac{2}{\sqrt{x+1}}.$

Решение.

1) Область определения функции $y = \frac{5}{\sqrt{x^2 - 4x - 12}} + \sqrt{x + 1}$ находится из системы неравенств, которая обеспечивает существование каждого слагаемого:

$\begin{cases} x^2 - 4x - 12 > 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases}$

Первое неравенство $x^2 - 4x - 12 > 0$ требует, чтобы подкоренное выражение в знаменателе было строго положительным. Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 6$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется на промежутках $(-\infty, -2) \cup (6, +\infty)$.

Второе неравенство $x + 1 \ge 0$ требует, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Отсюда получаем $x \ge -1$, то есть $x \in [-1, +\infty)$.

Для нахождения области определения функции необходимо найти пересечение полученных множеств: $((-\infty, -2) \cup (6, +\infty)) \cap [-1, +\infty)$. Пересечением является интервал $(6, +\infty)$.

Ответ: $(6, +\infty)$.

2) Область определения функции $y = \frac{x - 3}{\sqrt{18 + 3x - x^2}} + \frac{8}{x - 5}$ определяется системой условий:

$\begin{cases} 18 + 3x - x^2 > 0 \\ x - 5 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство $18 + 3x - x^2 > 0$. Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: $x^2 - 3x - 18 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 18 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -3$ и $x_2 = 6$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями, то есть $x \in (-3, 6)$.

Второе условие $x - 5 \neq 0$ означает, что $x \neq 5$.

Объединяя оба условия, получаем, что $x$ должен принадлежать интервалу $(-3, 6)$ и не быть равным 5. Таким образом, область определения функции представляет собой объединение двух интервалов.

Ответ: $(-3, 5) \cup (5, 6)$.

3) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 5x - 14} - \frac{9}{x^2 - 81}$ находится из системы условий:

$\begin{cases} x^2 - 5x - 14 \ge 0 \\ x^2 - 81 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 - 5x - 14 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 14 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -2$ и $x_2 = 7$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \le -2$ или $x \ge 7$. Решение: $x \in (-\infty, -2] \cup [7, +\infty)$.

Решим второе условие $x^2 - 81 \neq 0$. Это означает $x^2 \neq 81$, откуда $x \neq 9$ и $x \neq -9$.

Теперь нужно исключить точки $x = -9$ и $x = 9$ из множества $(-\infty, -2] \cup [7, +\infty)$. Точка $x=-9$ входит в промежуток $(-\infty, -2]$, а точка $x=9$ входит в промежуток $[7, +\infty)$. Исключая эти точки, получаем итоговое множество.

Ответ: $(-\infty, -9) \cup (-9, -2] \cup [7, 9) \cup (9, +\infty)$.

4) Область определения функции $y = \frac{1}{\sqrt{6 - 7x - 3x^2}} + \frac{2}{\sqrt{x + 1}}$ определяется системой строгих неравенств, так как оба корня находятся в знаменателях:

$\begin{cases} 6 - 7x - 3x^2 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство $6 - 7x - 3x^2 > 0$. Умножим на -1, изменив знак: $3x^2 + 7x - 6 < 0$. Найдем корни уравнения $3x^2 + 7x - 6 = 0$. Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121$. Корни: $x_1 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$ и $x_2 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, неравенство $3x^2 + 7x - 6 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-3, \frac{2}{3})$.

Решим второе неравенство $x + 1 > 0$, откуда $x > -1$, то есть $x \in (-1, +\infty)$.

Найдем пересечение решений системы: $(-3, \frac{2}{3}) \cap (-1, +\infty)$. Пересечением является интервал $(-1, \frac{2}{3})$.

Ответ: $(-1, \frac{2}{3})$.