Номер 8.13, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.13, страница 86.

Условие.

8.13. При каких значениях параметра $a$ не имеет корней уравнение:

1) $x^2 + (a - 2)x + 25 = 0;$

2) $4.5x^2 - (4a + 3)x + 3a = 0?$

Решение.

Квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ отрицателен ($D < 0$), где $D = B^2 - 4AC$.

1) $x^2 + (a - 2)x + 25 = 0$

В данном уравнении коэффициенты равны: $A = 1$, $B = a - 2$, $C = 25$.

Найдем дискриминант $D$:
$D = B^2 - 4AC = (a - 2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = (a - 2)^2 - 100$.

Уравнение не имеет корней при $D < 0$. Решим неравенство:

$(a - 2)^2 - 100 < 0$

$(a - 2)^2 < 100$

$|a - 2| < 10$

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$-10 < a - 2 < 10$

Прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$-10 + 2 < a < 10 + 2$

$-8 < a < 12$

Таким образом, уравнение не имеет корней при $a \in (-8; 12)$.

Ответ: $a \in (-8; 12)$.

2) $4,5x^2 - (4a + 3)x + 3a = 0$

В данном уравнении коэффициенты равны: $A = 4,5$, $B = -(4a + 3)$, $C = 3a$.

Найдем дискриминант $D$:
$D = B^2 - 4AC = (-(4a + 3))^2 - 4 \cdot 4,5 \cdot (3a) = (4a + 3)^2 - 18 \cdot 3a$.

Раскроем скобки и упростим выражение:

$D = (16a^2 + 2 \cdot 4a \cdot 3 + 9) - 54a = 16a^2 + 24a + 9 - 54a = 16a^2 - 30a + 9$.

Уравнение не имеет корней при $D < 0$. Решим неравенство:

$16a^2 - 30a + 9 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $16a^2 - 30a + 9 = 0$.

Вычислим дискриминант для этого уравнения (относительно переменной $a$):
$D_a = (-30)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 9 = 900 - 576 = 324$.

Найдем корни $a_1$ и $a_2$:
$a_1 = \frac{-(-30) - \sqrt{324}}{2 \cdot 16} = \frac{30 - 18}{32} = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}$.
$a_2 = \frac{-(-30) + \sqrt{324}}{2 \cdot 16} = \frac{30 + 18}{32} = \frac{48}{32} = \frac{3}{2}$.

Неравенство $16a^2 - 30a + 9 < 0$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $a^2$ равен 16, что больше нуля). Значения функции будут отрицательными между ее корнями.

Следовательно, решение неравенства: $\frac{3}{8} < a < \frac{3}{2}$.

Таким образом, исходное уравнение не имеет корней при $a \in (\frac{3}{8}; \frac{3}{2})$.

Ответ: $a \in (\frac{3}{8}; \frac{3}{2})$.