Номер 8.9, страница 85 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.9, страница 85.

Условие.

8.9. Составьте какое-нибудь неравенство, множество решений которого:

1) объединение промежутков $(-\infty; -4)$ и $(8; +\infty)$;

2) промежуток $[-2; 9]$;

3) состоит из одного числа 7.

Решение.

1) объединение промежутков $(-\infty; -4)$ и $(8; +\infty)$
Данное множество решений $x \in (-\infty; -4) \cup (8; +\infty)$ можно записать как совокупность неравенств $x < -4$ или $x > 8$. Такое множество решений характерно для квадратных неравенств. Мы можем составить квадратное выражение, корнями которого являются числа $-4$ и $8$.
Возьмем выражение в виде $(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни. Подставив наши значения, получим $(x - (-4))(x - 8)$, что равно $(x + 4)(x - 8)$.
Раскроем скобки: $(x + 4)(x - 8) = x^2 - 8x + 4x - 32 = x^2 - 4x - 32$.
Рассмотрим параболу $y = x^2 - 4x - 32$. Коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), поэтому ветви параболы направлены вверх. Это означает, что значения функции положительны вне промежутка между корнями.
Следовательно, неравенство $x^2 - 4x - 32 > 0$ имеет в качестве решения требуемое объединение промежутков.
Примечание: другим вариантом может быть неравенство с модулем. Середина отрезка между $-4$ и $8$ равна $\frac{-4+8}{2} = 2$. Расстояние от середины до концов равно $8 - 2 = 6$. Условие, что точка $x$ находится от точки $2$ на расстоянии, большем $6$, записывается как $|x - 2| > 6$.
Ответ: $x^2 - 4x - 32 > 0$.

2) промежуток $[-2; 9]$
Множество решений представляет собой отрезок $[-2; 9]$, что можно записать в виде двойного неравенства $-2 \le x \le 9$. По аналогии с предыдущим пунктом, составим квадратное неравенство. Корнями соответствующего квадратного уравнения будут числа $-2$ и $9$.
Выражение будет иметь вид $(x - (-2))(x - 9)$, то есть $(x + 2)(x - 9)$.
Раскроем скобки: $(x + 2)(x - 9) = x^2 - 9x + 2x - 18 = x^2 - 7x - 18$.
Графиком функции $y = x^2 - 7x - 18$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции не положительны (меньше или равны нулю) на промежутке между корнями, включая сами корни.
Таким образом, неравенство $x^2 - 7x - 18 \le 0$ имеет множество решений $[-2; 9]$.
Ответ: $x^2 - 7x - 18 \le 0$.

3) состоит из одного числа 7
Требуется составить неравенство, решением которого является только одно число, $x = 7$.
Для этого можно использовать выражение, которое всегда имеет один и тот же знак (или равно нулю) и обращается в ноль только в одной точке. Отличным кандидатом является квадрат двучлена.
Рассмотрим выражение $(x - 7)^2$. Известно, что квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(x - 7)^2 \ge 0$ при всех $x$. Равенство нулю достигается только тогда, когда основание степени равно нулю, то есть $x - 7 = 0$, откуда $x = 7$.
Составим неравенство $(x - 7)^2 \le 0$. Поскольку левая часть $(x - 7)^2$ никогда не может быть отрицательной, единственная возможность для выполнения этого неравенства — это равенство $(x - 7)^2 = 0$. Как мы уже выяснили, это происходит только при $x = 7$.
Следовательно, множество решений неравенства $(x - 7)^2 \le 0$ состоит из одного числа 7.
Примечание: другие возможные варианты — это $-(x-7)^2 \ge 0$ или $|x-7| \le 0$.
Ответ: $(x - 7)^2 \le 0$.