Номер 8.7, страница 85 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.7, страница 85.

Условие.

8.7. Найдите наименьшее целое решение неравенства:

1) $42 - x^2 - x > 0$;

2) $2x^2 - 3x - 20 < 0$.

Решение.

1) $42 - x^2 - x > 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, сначала приведем его к стандартному виду. Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 + x - 42 < 0$

Далее найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 42 = 0$. Сделать это можно с помощью теоремы Виета:

• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -42$
• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -1$

Подбором находим корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -7$.

Теперь рассмотрим параболу $y = x^2 + x - 42$. Коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), поэтому ветви параболы направлены вверх. Неравенство $x^2 + x - 42 < 0$ выполняется на интервале, где парабола находится ниже оси абсцисс, то есть между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-7; 6)$.

Наименьшее целое число, входящее в этот интервал, это -6.

Ответ: -6

2) $2x^2 - 3x - 20 < 0$

Для решения этого неравенства найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - 3x - 20 = 0$. Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-20) = 9 + 160 = 169 = 13^2$

Теперь найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5$

Графиком функции $y = 2x^2 - 3x - 20$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше нуля). Неравенство $2x^2 - 3x - 20 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x \in (-2.5; 4)$.

Наименьшим целым решением в этом интервале является число -2.

Ответ: -2