Номер 8.8, страница 85 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.8, страница 85.

Условие.

8.8. Найдите наибольшее целое решение неравенства:

1) $1,5x^2 - 2x - 2 < 0$;

2) $-2x^2 - 15x - 25 \ge 0$.

Решение.

1) Решим неравенство $1,5x^2 - 2x - 2 < 0$.
Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $1,5x^2 - 2x - 2 = 0$.
Для удобства умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$3x^2 - 4x - 4 = 0$
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2$
Графиком функции $y = 1,5x^2 - 2x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1,5 > 0$). Неравенство $1,5x^2 - 2x - 2 < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\frac{2}{3}; 2)$.
Целые числа, входящие в этот интервал: 0, 1.
Наибольшее целое решение - это 1.
Ответ: 1

2) Решим неравенство $-2x^2 - 15x - 25 \ge 0$.
Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$2x^2 + 15x + 25 \le 0$
Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 + 15x + 25 = 0$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 2 \cdot 25 = 225 - 200 = 25$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-15 - 5}{4} = \frac{-20}{4} = -5$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-15 + 5}{4} = \frac{-10}{4} = -2,5$
Графиком функции $y = 2x^2 + 15x + 25$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($2 > 0$). Неравенство $2x^2 + 15x + 25 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $x \in [-5; -2,5]$.
Целые числа, входящие в этот отрезок: -5, -4, -3.
Наибольшее целое решение - это -3.
Ответ: -3