Номер 8.11, страница 85 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.11, страница 85.

Условие.

8.11. Найдите область определения выражения:

1) $\sqrt{2x^2 - 9x - 18}$;

2) $\frac{1}{\sqrt{15 + 2x - x^2}}$.

Решение.

1)

Областью определения выражения $\sqrt{2x^2 - 9x - 18}$ является множество всех значений переменной $x$, при которых подкоренное выражение неотрицательно. То есть, необходимо решить неравенство:

$2x^2 - 9x - 18 \ge 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 9x - 18 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 15}{4} = \frac{-6}{4} = -1,5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 15}{4} = \frac{24}{4} = 6$

Графиком функции $y = 2x^2 - 9x - 18$ является парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку коэффициент при $x^2$ положителен: $2 > 0$). Следовательно, квадратичный трехчлен принимает неотрицательные значения ($ \ge 0 $) на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty; -1,5] \cup [6; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -1,5] \cup [6; +\infty)$.

2)

Областью определения выражения $\frac{1}{\sqrt{15 + 2x - x^2}}$ является множество всех значений переменной $x$, при которых подкоренное выражение строго больше нуля (подкоренное выражение не может быть отрицательным, а знаменатель дроби не может быть равен нулю).

Следовательно, необходимо решить неравенство:

$15 + 2x - x^2 > 0$

Для удобства умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 2x - 15 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = -3$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = 5$

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 15$ является парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку коэффициент при $x^2$ положителен: $1 > 0$). Следовательно, квадратичный трехчлен принимает отрицательные значения ($ < 0 $) на интервале между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал $x \in (-3; 5)$.

Ответ: $(-3; 5)$.