Номер 8.12, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.12, страница 86.

Условие.

8.12. Равносильны ли неравенства:

1) $x^2 - 2x - 15 > 0$ и $x^2 - 2x - 15 \ge 0;$

2) $\frac{1}{x^2 - x - 20} < 0$ и $\frac{1}{x^2 - x - 20} \le 0;$

3) $x^2 - 6x + 10 > 0$ и $-x^2 + x - 1 \le 0;$

4) $x^2 + 2x + 3 < 0$ и $-2x^2 - 4 > 0?$

Решение.

1) $x^2 - 2x - 15 > 0$ и $x^2 - 2x - 15 \geq 0$

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Решим каждое неравенство.

Для обоих неравенств найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$.

Используем теорему Виета или формулу для корней. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{2 - 8}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5$.

Для первого неравенства $x^2 - 2x - 15 > 0$ (или $(x+3)(x-5) > 0$), решением является объединение интервалов, где выражение положительно. Так как это парабола с ветвями вверх, решение: $x \in (-\infty; -3) \cup (5; \infty)$.

Для второго неравенства $x^2 - 2x - 15 \geq 0$, решение включает также и корни уравнения. Решение: $x \in (-\infty; -3] \cup [5; \infty)$.

Множества решений не совпадают, так как второе множество содержит точки $x = -3$ и $x = 5$, а первое — нет. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: неравенства не равносильны.

2) $\frac{1}{x^2 - x - 20} < 0$ и $\frac{1}{x^2 - x - 20} \leq 0$

Рассмотрим первое неравенство $\frac{1}{x^2 - x - 20} < 0$. Числитель дроби — положительное число (1). Дробь будет отрицательной, если ее знаменатель отрицателен. Таким образом, неравенство равносильно неравенству $x^2 - x - 20 < 0$.

Рассмотрим второе неравенство $\frac{1}{x^2 - x - 20} \leq 0$. Дробь не может равняться нулю, так как ее числитель не равен нулю. Значит, это неравенство также равносильно неравенству $x^2 - x - 20 < 0$.

Поскольку оба исходных неравенства сводятся к одному и тому же неравенству $x^2 - x - 20 < 0$, их множества решений совпадают, и, следовательно, они равносильны. (Для справки, решим $x^2 - x - 20 < 0$. Корни уравнения $x^2 - x - 20 = 0$ это $x_1 = -4$ и $x_2 = 5$. Решение неравенства: $x \in (-4; 5)$).

Ответ: неравенства равносильны.

3) $x^2 - 6x + 10 > 0$ и $-x^2 + x - 1 \leq 0$

Рассмотрим первое неравенство $x^2 - 6x + 10 > 0$. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и коэффициент при $x^2$ положительный ($a = 1 > 0$), парабола $y = x^2 - 6x + 10$ полностью лежит выше оси Ox. Это означает, что выражение $x^2 - 6x + 10$ положительно при любом значении $x$. Решением неравенства является вся числовая прямая: $x \in (-\infty; \infty)$.

Рассмотрим второе неравенство $-x^2 + x - 1 \leq 0$. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $D = 1^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-1) = 1 - 4 = -3$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -1 < 0$), парабола $y = -x^2 + x - 1$ полностью лежит ниже оси Ox. Это означает, что выражение $-x^2 + x - 1$ отрицательно при любом значении $x$. Следовательно, неравенство $-x^2 + x - 1 \leq 0$ верно для любого $x$. Решением является вся числовая прямая: $x \in (-\infty; \infty)$.

Множества решений обоих неравенств совпадают.

Ответ: неравенства равносильны.

4) $x^2 + 2x + 3 < 0$ и $-2x^2 - 4 > 0$

Рассмотрим первое неравенство $x^2 + 2x + 3 < 0$. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

Так как $D < 0$ и $a = 1 > 0$, выражение $x^2 + 2x + 3$ всегда положительно. Следовательно, неравенство $x^2 + 2x + 3 < 0$ не имеет решений. Множество решений — пустое множество ($\emptyset$).

Рассмотрим второе неравенство $-2x^2 - 4 > 0$. Перенесем 4 в правую часть: $-2x^2 > 4$. Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства: $x^2 < -2$.

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, поэтому неравенство $x^2 < -2$ не имеет решений. Множество решений — пустое множество ($\emptyset$).

Поскольку множества решений обоих неравенств совпадают (оба являются пустыми), неравенства равносильны.

Ответ: неравенства равносильны.