Номер 8.14, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.14, страница 86.

Условие.

8.14. При каких значениях параметра $b$ имеет два различных корня уравнение:

1) $x^2 - 8bx + 15b + 1 = 0$;

2) $2x^2 + 2(b - 6)x + b - 2 = 0?$

Решение.

1) $x^2 - 8bx + 15b + 1 = 0$

Данное уравнение является квадратным, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (не равен нулю). Квадратное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ строго больше нуля.

Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $B = -8b$, $C = 15b + 1$.

Найдем дискриминант по формуле $D = B^2 - 4aC$:$D = (-8b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (15b + 1) = 64b^2 - 60b - 4$.

Для наличия двух различных корней должно выполняться условие $D > 0$:$64b^2 - 60b - 4 > 0$.

Разделим обе части неравенства на 4 для упрощения:$16b^2 - 15b - 1 > 0$.

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем сначала корни соответствующего уравнения $16b^2 - 15b - 1 = 0$. Вычислим дискриминант для этого уравнения (относительно переменной $b$):$D_b = (-15)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-1) = 225 + 64 = 289$.

Корни уравнения:$b_1 = \frac{15 - \sqrt{289}}{2 \cdot 16} = \frac{15 - 17}{32} = \frac{-2}{32} = -\frac{1}{16}$.$b_2 = \frac{15 + \sqrt{289}}{2 \cdot 16} = \frac{15 + 17}{32} = \frac{32}{32} = 1$.

Графиком функции $y = 16b^2 - 15b - 1$ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $b^2$ положителен). Значения функции положительны, когда аргумент $b$ находится вне интервала между корнями.

Следовательно, неравенство выполняется при $b < -\frac{1}{16}$ или $b > 1$.

Ответ: $b \in (-\infty; -\frac{1}{16}) \cup (1; +\infty)$.

2) $2x^2 + 2(b - 6)x + b - 2 = 0$

Это квадратное уравнение ($a=2 \neq 0$), которое имеет два различных корня, если его дискриминант $D$ строго положителен.

Коэффициенты уравнения: $a = 2$, $B = 2(b - 6)$, $C = b - 2$.

Так как коэффициент $B$ — четное число, для удобства вычислений воспользуемся формулой для четверти дискриминанта $\frac{D}{4} = k^2 - ac$, где $k = \frac{B}{2}$. Условие наличия двух различных корней в этом случае — $\frac{D}{4} > 0$.

В нашем уравнении $k = \frac{2(b - 6)}{2} = b - 6$. Найдем $\frac{D}{4}$:$\frac{D}{4} = (b - 6)^2 - 2(b - 2) = (b^2 - 12b + 36) - (2b - 4) = b^2 - 12b + 36 - 2b + 4 = b^2 - 14b + 40$.

Решим неравенство $\frac{D}{4} > 0$:$b^2 - 14b + 40 > 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $b^2 - 14b + 40$, решив уравнение $b^2 - 14b + 40 = 0$. Дискриминант для этого уравнения (относительно $b$):$D_b = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 196 - 160 = 36$.

Корни уравнения:$b_1 = \frac{14 - \sqrt{36}}{2} = \frac{14 - 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$.$b_2 = \frac{14 + \sqrt{36}}{2} = \frac{14 + 6}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

Графиком функции $y = b^2 - 14b + 40$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны, когда аргумент $b$ находится вне интервала между корнями.

Таким образом, неравенство выполняется при $b < 4$ или $b > 10$.

Ответ: $b \in (-\infty; 4) \cup (10; +\infty)$.