Номер 8.21, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.21, страница 86.

Условие.

8.21. Найдите множество решений неравенства:

1) $5x^2 - 7|x| + 2 \ge 0;$

2) $x^2 + 10|x| - 24 \le 0;$

3) $6x^2 - 5|x| + 1 < 0.$

Решение.

1) $5x^2 - 7|x| + 2 \ge 0$

Поскольку $x^2 = |x|^2$, мы можем переписать неравенство, заменив $x^2$ на $|x|^2$:

$5|x|^2 - 7|x| + 2 \ge 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x|$, где $t \ge 0$. Неравенство принимает вид:

$5t^2 - 7t + 2 \ge 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5t^2 - 7t + 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 - 40 = 9 = 3^2$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{7 - 3}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$t_2 = \frac{7 + 3}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

Парабола $y = 5t^2 - 7t + 2$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $5t^2 - 7t + 2 \ge 0$ выполняется при $t \le t_1$ или $t \ge t_2$.

Таким образом, $t \le \frac{2}{5}$ или $t \ge 1$.

Вернемся к замене $t = |x|$, учитывая, что $|x| \ge 0$:

1. $|x| \le \frac{2}{5}$. Это неравенство равносильно $-\frac{2}{5} \le x \le \frac{2}{5}$.

2. $|x| \ge 1$. Это неравенство равносильно совокупности $x \ge 1$ или $x \le -1$.

Объединяя полученные решения, получаем множество решений исходного неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [-\frac{2}{5}; \frac{2}{5}] \cup [1; +\infty)$.

2) $x^2 + 10|x| - 24 \le 0$

Используем свойство $x^2 = |x|^2$:

$|x|^2 + 10|x| - 24 \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x|$, где $t \ge 0$.

$t^2 + 10t - 24 \le 0$

Найдем корни уравнения $t^2 + 10t - 24 = 0$.

Дискриминант $D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196 = 14^2$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-10 - 14}{2} = -12$

$t_2 = \frac{-10 + 14}{2} = 2$

Парабола $y = t^2 + 10t - 24$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $t^2 + 10t - 24 \le 0$ выполняется при $t_1 \le t \le t_2$.

$-12 \le t \le 2$.

Возвращаемся к замене $t = |x|$ и учитываем условие $t \ge 0$:

Получаем систему неравенств: $\begin{cases} |x| \le 2 \\ |x| \ge -12 \end{cases}$

Неравенство $|x| \ge -12$ верно для любого действительного числа $x$, так как модуль всегда неотрицателен.

Остается решить неравенство $|x| \le 2$, которое равносильно $-2 \le x \le 2$.

Ответ: $x \in [-2; 2]$.

3) $6x^2 - 5|x| + 1 < 0$

Так как $x^2 = |x|^2$, перепишем неравенство:

$6|x|^2 - 5|x| + 1 < 0$

Пусть $t = |x|$, где $t \ge 0$.

$6t^2 - 5t + 1 < 0$

Найдем корни уравнения $6t^2 - 5t + 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1 = 1^2$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{5 - 1}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Парабола $y = 6t^2 - 5t + 1$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $6t^2 - 5t + 1 < 0$ выполняется при $t_1 < t < t_2$.

$\frac{1}{3} < t < \frac{1}{2}$.

Возвращаемся к замене $t = |x|$:

$\frac{1}{3} < |x| < \frac{1}{2}$

Это двойное неравенство равносильно совокупности двух систем:

1. Если $x > 0$, то $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$.

2. Если $x < 0$, то $\frac{1}{3} < -x < \frac{1}{2}$, что равносильно $-\frac{1}{2} < x < -\frac{1}{3}$.

Объединяя эти два интервала, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}; -\frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; \frac{1}{2})$.