Номер 8.16, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.16, страница 86.

Условие.

8.16. Решите систему неравенств:

1) $ \begin{cases} -6x^2 + 13x - 5 \le 0, \\ 6 - 2x > 0; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 - 7x - 18 < 0, \\ 5x - x^2 \le 0. \end{cases} $

Решение.

1)

Решим систему неравенств:
$\begin{cases} -6x^2 + 13x - 5 \le 0, \\ 6 - 2x > 0. \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Решим первое неравенство: $-6x^2 + 13x - 5 \le 0$.

Для удобства умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$6x^2 - 13x + 5 \ge 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $6x^2 - 13x + 5 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 5 = 169 - 120 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 7}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$.

Графиком функции $y = 6x^2 - 13x + 5$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=6 > 0$). Следовательно, неравенство $6x^2 - 13x + 5 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами корней (включая сами корни).

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $6 - 2x > 0$.

$-2x > -6$

$x < 3$ (при делении на отрицательное число -2 знак неравенства меняется на противоположный).

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 3)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств. Искомое решение системы — это множество всех $x$, удовлетворяющих одновременно условиям $x \in (-\infty, \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}, +\infty)$ и $x \in (-\infty, 3)$.

Пересечение интервала $(-\infty, \frac{1}{2}]$ с интервалом $(-\infty, 3)$ дает $(-\infty, \frac{1}{2}]$.

Пересечение интервала $[\frac{5}{3}, +\infty)$ с интервалом $(-\infty, 3)$ дает $[\frac{5}{3}, 3)$.

Объединяем полученные множества и получаем общее решение системы.

Ответ: $(-\infty, \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}, 3)$.

2)

Решим систему неравенств:
$\begin{cases} x^2 - 7x - 18 < 0, \\ 5x - x^2 \le 0. \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 7x - 18 < 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 7x - 18 = 0$.

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 11}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 11}{2 \cdot 1} = \frac{18}{2} = 9$.

Графиком функции $y = x^2 - 7x - 18$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$). Неравенство $x^2 - 7x - 18 < 0$ выполняется, когда $x$ находится между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-2, 9)$.

2. Решим второе неравенство: $5x - x^2 \le 0$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$x^2 - 5x \ge 0$.

Разложим левую часть на множители: $x(x - 5) \ge 0$.

Корни уравнения $x(x - 5) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.

Ветви параболы $y = x^2 - 5x$ направлены вверх ($a=1 > 0$), поэтому неравенство $x^2 - 5x \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами корней (включая сами корни).

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 0] \cup [5, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (-2, 9)$ и $x \in (-\infty, 0] \cup [5, +\infty)$.

Пересечение интервала $(-2, 9)$ с множеством $(-\infty, 0] \cup [5, +\infty)$ состоит из двух частей:

а) Пересечение $(-2, 9)$ и $(-\infty, 0]$ дает $(-2, 0]$.

б) Пересечение $(-2, 9)$ и $[5, +\infty)$ дает $[5, 9)$.

Объединяем эти два интервала для получения окончательного ответа.

Ответ: $(-2, 0] \cup [5, 9)$.