Номер 8.15, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.15, страница 86.

Условие.

8.15. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x^2 - x - 6 \le 0 \\ x > 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x^2 - 11x - 6 \ge 0 \\ x + 4 \ge 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - 9x - 10 \le 0 \\ 6x - x^2 < 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 - x - 12 \ge 0 \\ x^2 + 3x - 10 < 0. \end{cases}$

Решение.

1)

Исходная система: $\begin{cases} x^2 - x - 6 \le 0, \\ x > 0. \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство $x^2 - x - 6 \le 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 6 = 0$.
Используя теорему Виета, получаем: $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -6$.
Корни уравнения: $x_1 = -2$, $x_2 = 3$.
Графиком функции $y = x^2 - x - 6$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции не положительны ($ \le 0 $) на отрезке между корнями.
Следовательно, решение первого неравенства: $x \in [-2, 3]$.

Второе неравенство системы $x > 0$. Его решение: $x \in (0, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $[-2, 3] \cap (0, +\infty)$.
Общим решением является промежуток $(0, 3]$.

Ответ: $(0, 3]$.

2)

Исходная система: $\begin{cases} 2x^2 - 11x - 6 \ge 0, \\ x + 4 \ge 0. \end{cases}$

Решим первое неравенство $2x^2 - 11x - 6 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 - 11x - 6 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 121 + 48 = 169 = 13^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{11 - 13}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5$; $x_2 = \frac{11 + 13}{4} = \frac{24}{4} = 6$.
Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому значения функции не отрицательны ($ \ge 0 $) при $x$ вне отрезка между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -0.5] \cup [6, +\infty)$.

Решим второе неравенство $x + 4 \ge 0$, откуда $x \ge -4$.
Решение второго неравенства: $x \in [-4, +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty, -0.5] \cup [6, +\infty)) \cap [-4, +\infty)$.
Пересечение дает объединение двух промежутков: $[-4, -0.5]$ и $[6, +\infty)$.

Ответ: $[-4, -0.5] \cup [6, +\infty)$.

3)

Исходная система: $\begin{cases} x^2 - 9x - 10 \le 0, \\ 6x - x^2 < 0. \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 - 9x - 10 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 9x - 10 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 9$, $x_1 \cdot x_2 = -10$.
Корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 10$.
Это парабола с ветвями вверх, поэтому решение неравенства: $x \in [-1, 10]$.

Решим второе неравенство $6x - x^2 < 0$.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 6x > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 6x = 0 \Rightarrow x(x-6) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 6$.
Это парабола с ветвями вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup (6, +\infty)$.

Найдем пересечение множеств решений: $[-1, 10] \cap ((-\infty, 0) \cup (6, +\infty))$.
Пересечение интервала $[-1, 10]$ с $(-\infty, 0)$ дает $[-1, 0)$.
Пересечение интервала $[-1, 10]$ с $(6, +\infty)$ дает $(6, 10]$.
Объединив эти результаты, получим решение системы.

Ответ: $[-1, 0) \cup (6, 10]$.

4)

Исходная система: $\begin{cases} x^2 - x - 12 \ge 0, \\ x^2 + 3x - 10 < 0. \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 - x - 12 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -12$.
Корни: $x_1 = -3$, $x_2 = 4$.
Парабола с ветвями вверх, поэтому решение: $x \in (-\infty, -3] \cup [4, +\infty)$.

Решим второе неравенство $x^2 + 3x - 10 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -3$, $x_1 \cdot x_2 = -10$.
Корни: $x_1 = -5$, $x_2 = 2$.
Парабола с ветвями вверх, поэтому решение: $x \in (-5, 2)$.

Найдем пересечение множеств решений: $((-\infty, -3] \cup [4, +\infty)) \cap (-5, 2)$.
Пересечение $(-\infty, -3]$ с $(-5, 2)$ дает промежуток $(-5, -3]$.
Пересечение $[4, +\infty)$ с $(-5, 2)$ является пустым множеством.
Следовательно, решением системы является только первый найденный промежуток.

Ответ: $(-5, -3]$.