Номер 8.6, страница 85 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.6, страница 85.

Условие.

8.6. Решите неравенство:

1) $2(x^2 + 2) \ge x(x + 5);$

2) $x - (x + 4)(x + 5) > -5;$

3) $(6x - 1)(6x + 1) - (12x - 5)(x + 2) < 7 - 3x;$

4) $\frac{x - 1}{4} - \frac{2x - 3}{2} < \frac{x^2 + 3x}{8}.$

Решение.

1) $2(x^2 + 2) \geq x(x + 5)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$2x^2 + 4 \geq x^2 + 5x$
Перенесем все члены в левую часть:
$2x^2 - x^2 - 5x + 4 \geq 0$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 5x + 4 \geq 0$
Теперь решим соответствующее квадратное уравнение $x^2 - 5x + 4 = 0$ для нахождения корней. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$), ветви параболы $y = x^2 - 5x + 4$ направлены вверх. Неравенство $x^2 - 5x + 4 \geq 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty, 1] \cup [4, +\infty)$.
Ответ: $(-\infty, 1] \cup [4, +\infty)$.

2) $x - (x + 4)(x + 5) > -5$

Раскроем скобки:
$x - (x^2 + 5x + 4x + 20) > -5$
$x - (x^2 + 9x + 20) > -5$
$x - x^2 - 9x - 20 > -5$
Приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую часть:
$-x^2 - 8x - 20 + 5 > 0$
$-x^2 - 8x - 15 > 0$
Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:
$x^2 + 8x + 15 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 8x + 15 = 0$. По теореме Виета, корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = -3$.
Ветви параболы $y = x^2 + 8x + 15$ направлены вверх. Неравенство $x^2 + 8x + 15 < 0$ выполняется, когда $x$ находится строго между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-5, -3)$.
Ответ: $(-5, -3)$.

3) $(6x - 1)(6x + 1) - (12x - 5)(x + 2) < 7 - 3x$

Применим формулу разности квадратов для первого произведения и раскроем скобки для второго:
$(36x^2 - 1) - (12x^2 + 24x - 5x - 10) < 7 - 3x$
$36x^2 - 1 - (12x^2 + 19x - 10) < 7 - 3x$
$36x^2 - 1 - 12x^2 - 19x + 10 < 7 - 3x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$24x^2 - 19x + 9 < 7 - 3x$
Перенесем все члены в левую часть:
$24x^2 - 19x + 3x + 9 - 7 < 0$
$24x^2 - 16x + 2 < 0$
Разделим все неравенство на 2:
$12x^2 - 8x + 1 < 0$
Найдем корни уравнения $12x^2 - 8x + 1 = 0$. Используем формулу для корней квадратного уравнения:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 1 = 64 - 48 = 16$
$x_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 12} = \frac{8 \pm 4}{24}$
$x_1 = \frac{8 - 4}{24} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$
$x_2 = \frac{8 + 4}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$
Ветви параболы $y = 12x^2 - 8x + 1$ направлены вверх. Неравенство $12x^2 - 8x + 1 < 0$ выполняется, когда $x$ находится строго между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $x \in (\frac{1}{6}, \frac{1}{2})$.
Ответ: $(\frac{1}{6}, \frac{1}{2})$.

4) $\frac{x-1}{4} - \frac{2x-3}{2} < \frac{x^2 + 3x}{8}$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 8. Так как 8 > 0, знак неравенства не меняется.
$8 \cdot \frac{x-1}{4} - 8 \cdot \frac{2x-3}{2} < 8 \cdot \frac{x^2 + 3x}{8}$
$2(x - 1) - 4(2x - 3) < x^2 + 3x$
Раскроем скобки:
$2x - 2 - 8x + 12 < x^2 + 3x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-6x + 10 < x^2 + 3x$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:
$0 < x^2 + 3x + 6x - 10$
$x^2 + 9x - 10 > 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 9x - 10 = 0$. Используем формулу для корней квадратного уравнения:
$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121$
$x_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 \pm 11}{2}$
$x_1 = \frac{-9 - 11}{2} = \frac{-20}{2} = -10$
$x_2 = \frac{-9 + 11}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Ветви параболы $y = x^2 + 9x - 10$ направлены вверх. Неравенство $x^2 + 9x - 10 > 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty, -10) \cup (1, +\infty)$.
Ответ: $(-\infty, -10) \cup (1, +\infty)$.