Номер 8.32, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.32, страница 87.

Условие.

8.32. При каких значениях параметра $a$ неравенство $x^2 + x - 2 < 0$ является следствием неравенства $x^2 - (2a - 1)x - 3a^2 + a < 0$?

Решение.

Обозначим неравенства:

(1): $x^2 + x - 2 < 0$

(2): $x^2 - (2a - 1)x - 3a^2 + a < 0$

Условие "неравенство (1) является следствием неравенства (2)" означает, что множество решений неравенства (2) является подмножеством множества решений неравенства (1). Пусть $S_1$ — множество решений неравенства (1), а $S_2$ — множество решений неравенства (2). Тогда должно выполняться условие $S_2 \subseteq S_1$.

Сначала найдем множество решений $S_1$ для неравенства $x^2 + x - 2 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета или через разложение на множители $(x+2)(x-1)=0$, получаем корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Поскольку график функции $y = x^2 + x - 2$ — это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 + x - 2 < 0$ выполняется на интервале между корнями. Таким образом, $S_1 = (-2, 1)$.

Теперь найдем множество решений $S_2$ для неравенства $x^2 - (2a - 1)x - 3a^2 + a < 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - (2a - 1)x - (3a^2 - a) = 0$. Вычислим дискриминант $D$:

$D = (-(2a - 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3a^2 + a) = (2a - 1)^2 + 12a^2 - 4a = 4a^2 - 4a + 1 + 12a^2 - 4a = 16a^2 - 8a + 1 = (4a - 1)^2$.

Поскольку $D = (4a - 1)^2 \ge 0$, уравнение всегда имеет действительные корни. Найдем их:

$x = \frac{(2a - 1) \pm \sqrt{(4a - 1)^2}}{2} = \frac{2a - 1 \pm (4a - 1)}{2}$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{2a - 1 + (4a - 1)}{2} = \frac{6a - 2}{2} = 3a - 1$

$x_2 = \frac{2a - 1 - (4a - 1)}{2} = \frac{-2a}{2} = -a$

График функции $y = x^2 - (2a - 1)x - 3a^2 + a$ — это парабола с ветвями вверх, поэтому решением неравенства (2) является интервал между корнями $3a - 1$ и $-a$.

Для выполнения условия $S_2 \subseteq S_1$ необходимо, чтобы интервал решений неравенства (2) содержался в интервале $(-2, 1)$. Рассмотрим три случая.

Случай 1: Корни совпадают, то есть $3a - 1 = -a$.

Это происходит при $4a = 1$, или $a = 1/4$. В этом случае неравенство (2) принимает вид $(x + 1/4)^2 < 0$, которое не имеет решений. Таким образом, $S_2 = \emptyset$. Пустое множество является подмножеством любого множества, поэтому условие $S_2 \subseteq S_1$ выполняется. Значит, $a = 1/4$ является решением.

Случай 2: $3a - 1 < -a$.

Это неравенство выполняется при $4a < 1$, то есть $a < 1/4$. В этом случае $S_2 = (3a - 1, -a)$. Условие $S_2 \subseteq S_1$ означает $(3a - 1, -a) \subseteq (-2, 1)$. Это равносильно системе неравенств:

$\begin{cases} 3a - 1 \ge -2 \\ -a \le 1 \end{cases}$

Решая систему, получаем:

$\begin{cases} 3a \ge -1 \\ a \ge -1 \end{cases} \implies \begin{cases} a \ge -1/3 \\ a \ge -1 \end{cases} \implies a \ge -1/3$.

Учитывая условие $a < 1/4$, получаем $a \in [-1/3, 1/4)$.

Случай 3: $3a - 1 > -a$.

Это неравенство выполняется при $4a > 1$, то есть $a > 1/4$. В этом случае $S_2 = (-a, 3a - 1)$. Условие $S_2 \subseteq S_1$ означает $(-a, 3a - 1) \subseteq (-2, 1)$. Это равносильно системе неравенств:

$\begin{cases} -a \ge -2 \\ 3a - 1 \le 1 \end{cases}$

Решая систему, получаем:

$\begin{cases} a \le 2 \\ 3a \le 2 \end{cases} \implies \begin{cases} a \le 2 \\ a \le 2/3 \end{cases} \implies a \le 2/3$.

Учитывая условие $a > 1/4$, получаем $a \in (1/4, 2/3]$.

Объединим решения, полученные во всех трех случаях:

$a \in [-1/3, 1/4) \cup \{1/4\} \cup (1/4, 2/3]$.

Итоговым множеством значений для параметра $a$ является отрезок $[-1/3, 2/3]$.

Ответ: $a \in [-1/3, 2/3]$.