Номер 8.34, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.34, страница 87.

Условие.

8.34. При каких значениях параметра $a$ из неравенства $x^2 + x < 0$ следует неравенство $x^2 - 2(a - 1)x + a^2 - 2a \le 0$?

Решение.

Условие, что из неравенства $x^2 + x < 0$ следует неравенство $x^2 - 2(a-1)x + a^2 - 2a \le 0$, означает, что множество решений первого неравенства должно быть подмножеством множества решений второго неравенства.

1. Найдем множество решений неравенства $x^2 + x < 0$.
Разложим левую часть на множители: $x(x+1) < 0$.
Корнями уравнения $x(x+1)=0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 0$. Графиком функции $y=x^2+x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями. Таким образом, множество решений первого неравенства — это интервал $(-1, 0)$.

2. Найдем множество решений неравенства $x^2 - 2(a-1)x + a^2 - 2a \le 0$.
Это квадратное неравенство относительно переменной $x$. Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 2(a-1)x + a^2 - 2a = 0$, чтобы определить интервал, на котором трехчлен не положителен.
Вычислим дискриминант: $D = (-2(a-1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 2a) = 4(a^2 - 2a + 1) - 4a^2 + 8a = 4a^2 - 8a + 4 - 4a^2 + 8a = 4$.
Корни уравнения равны:
$x_{1,2} = \frac{2(a-1) \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{2(a-1) \pm 2}{2} = a-1 \pm 1$.
Отсюда получаем два корня: $x_1 = a-1-1 = a-2$ и $x_2 = a-1+1 = a$.
Графиком функции $y = x^2 - 2(a-1)x + a^2 - 2a$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, неравенство $\le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $[a-2, a]$.

3. Теперь нам нужно найти все значения параметра $a$, при которых интервал решений первого неравенства содержится в отрезке решений второго неравенства:
$(-1, 0) \subseteq [a-2, a]$.
Это условие выполняется тогда и только тогда, когда левая граница содержащего отрезка меньше или равна левой границе содержимого интервала, а правая граница — больше или равна правой границе. Это приводит к системе неравенств:
$ \begin{cases} a-2 \le -1 \\ a \ge 0 \end{cases} $
Решаем эту систему:
$ \begin{cases} a \le 1 \\ a \ge 0 \end{cases} $
Общим решением системы является отрезок $0 \le a \le 1$.

Ответ: $a \in [0, 1]$.