Номер 8.35, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 8. Решение квадратных неравенств - номер 8.35, страница 87.

Условие.

8.35. Известно, что $b^2 - 4ac = 0$ и $a + b + c < 0$. Решите квадратное неравенство $ax^2 + bx + c \ge 0$.

Решение.

Рассмотрим квадратичную функцию $y(x) = ax^2 + bx + c$.

Первое условие, $b^2 - 4ac = 0$, означает, что дискриминант $D$ квадратного трехчлена равен нулю. Это говорит о том, что квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет ровно один действительный корень (или два совпадающих корня): $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Графиком функции $y(x)$ является парабола, которая касается оси абсцисс в своей вершине, в точке $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Это означает, что значение функции $y(x)$ всегда имеет один и тот же знак (или равно нулю), и этот знак совпадает со знаком старшего коэффициента $a$.

• Если $a > 0$, то ветви параболы направлены вверх, и, следовательно, $ax^2 + bx + c \ge 0$ для всех действительных чисел $x$.
• Если $a < 0$, то ветви параболы направлены вниз, и, следовательно, $ax^2 + bx + c \le 0$ для всех действительных чисел $x$.

Второе условие, $a + b + c < 0$, дает нам информацию о значении функции в точке $x=1$. Если подставить $x=1$ в функцию, получим: $y(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c$. Таким образом, мы знаем, что $y(1) < 0$.

Так как существует значение $x$ (а именно $x=1$), при котором функция отрицательна, случай $a > 0$ (когда $y(x) \ge 0$ для всех $x$) невозможен. Следовательно, мы можем сделать однозначный вывод, что $a < 0$.

Итак, мы имеем дело с параболой, ветви которой направлены вниз ($a < 0$) и которая касается оси Ox ($D=0$). Это означает, что $ax^2 + bx + c \le 0$ для всех действительных $x$.

Теперь решим заданное неравенство: $ax^2 + bx + c \ge 0$.

Поскольку мы установили, что выражение $ax^2 + bx + c$ всегда меньше или равно нулю, данное неравенство может выполняться только в одном случае: когда $ax^2 + bx + c = 0$.

Это равенство достигается только в одной точке — в вершине параболы, где $x = -\frac{b}{2a}$.

Следовательно, решением неравенства является единственное число.

Ответ: $x = -\frac{b}{2a}$