Номер 9.4, страница 95 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.4, страница 95.

Условие.

9.4. Решите неравенство:

1) $x^2(x+1)(x-4) > 0;$

2) $(1-2x)(x-3)^9(2x+7)^6(x+4)(x-2)^2 > 0.$

Решение.

1) $x^2(x + 1)(x - 4) > 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов.

1. Найдем нули функции $f(x) = x^2(x + 1)(x - 4)$. Для этого приравняем левую часть неравенства к нулю:

$x^2(x + 1)(x - 4) = 0$

Корнями уравнения являются:

• $x^2 = 0 \implies x_1 = 0$ (корень кратности 2, то есть четной кратности)
• $x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$ (корень кратности 1, нечетной кратности)
• $x - 4 = 0 \implies x_3 = 4$ (корень кратности 1, нечетной кратности)

2. Отметим найденные корни на числовой оси. Так как неравенство строгое ($>0$), все точки будут выколотыми.

3. Определим знаки функции на каждом из полученных интервалов. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x=5$:

$5^2(5 + 1)(5 - 4) = 25 \cdot 6 \cdot 1 = 150 > 0$. Значит, на интервале $(4, \infty)$ функция положительна.

4. Двигаясь справа налево, будем менять знак при переходе через корень нечетной кратности и сохранять знак при переходе через корень четной кратности.

• $x=4$: корень нечетной кратности, знак меняется с «+» на «-».
• $x=0$: корень четной кратности, знак не меняется и остается «-».
• $x=-1$: корень нечетной кратности, знак меняется с «-» на «+».

Расставим знаки на числовой оси:

5. Нам нужно найти интервалы, где выражение больше нуля ($>0$), то есть где стоит знак «+».

Это интервалы $(-\infty, -1)$ и $(4, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (4, \infty)$.

2) $(1 - 2x)(x - 3)^9(2x + 7)^6(x + 4)(x - 2)^2 > 0$

Решим неравенство методом интервалов.

1. Приведем неравенство к стандартному виду, чтобы коэффициенты при $x$ во всех множителях были положительными. Вынесем «-1» из первого множителя $(1 - 2x) = -(2x - 1)$:

$-(2x - 1)(x - 3)^9(2x + 7)^6(x + 4)(x - 2)^2 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$(2x - 1)(x - 3)^9(2x + 7)^6(x + 4)(x - 2)^2 < 0$

2. Найдем нули левой части, приравняв ее к нулю:

$(2x - 1)(x - 3)^9(2x + 7)^6(x + 4)(x - 2)^2 = 0$

Корнями уравнения являются:

• $2x - 1 = 0 \implies x_1 = 0.5$ (кратность 1, нечетная)
• $x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$ (кратность 9, нечетная)
• $2x + 7 = 0 \implies x_3 = -3.5$ (кратность 6, четная)
• $x + 4 = 0 \implies x_4 = -4$ (кратность 1, нечетная)
• $x - 2 = 0 \implies x_5 = 2$ (кратность 2, четная)

3. Отметим корни на числовой оси в порядке возрастания: -4, -3.5, 0.5, 2, 3. Все точки выколотые, так как неравенство строгое.

4. Определим знак на крайнем правом интервале $(3, \infty)$, взяв пробную точку, например $x=10$. Все множители в выражении $(2x - 1)(x - 3)^9(2x + 7)^6(x + 4)(x - 2)^2$ будут положительными, значит, на этом интервале стоит знак «+».

5. Двигаясь справа налево, расставим знаки на остальных интервалах:

• $x=3$: корень нечетной кратности, знак меняется на «-».
• $x=2$: корень четной кратности, знак не меняется, остается «-».
• $x=0.5$: корень нечетной кратности, знак меняется на «+».
• $x=-3.5$: корень четной кратности, знак не меняется, остается «+».
• $x=-4$: корень нечетной кратности, знак меняется на «-».

6. Мы ищем решение неравенства $(2x - 1)(x - 3)^9(2x + 7)^6(x + 4)(x - 2)^2 < 0$, то есть выбираем интервалы со знаком «-».

Это интервалы $(-\infty, -4)$, $(0.5, 2)$ и $(2, 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (0.5, 2) \cup (2, 3)$.