Номер 9.14, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.14, страница 96.

Условие.

9.14. Решите неравенство:

1) $(x^2 - 4)(x^2 + x - 2) \le 0$;

2) $(x^3 - 4x)(x^2 + 2x - 8)(x^2 + 7x + 10) \le 0$;

3) $\frac{(x^2 - 10x + 21)(x^2 - 6x - 7)}{(x^2 + 5x + 6)(x^2 - 4)} \le 0$;

4) $\frac{|x - 5|^5 |x - 2|}{(1 - x)^3 (x + 4)} \le 0$.

Решение.

1)

Решим неравенство $(x^2 - 4)(x^2 + x - 2) \le 0$.

Сначала разложим квадратные трехчлены на множители.

Первый множитель, используя формулу разности квадратов: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

Второй множитель $x^2 + x - 2$. Найдем его корни по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -1$ и $x_1 \cdot x_2 = -2$. Корни равны $1$ и $-2$. Тогда $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$.

Подставим разложения в исходное неравенство:

$(x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 2) \le 0$

Сгруппируем множители:

$(x - 1)(x - 2)(x + 2)^2 \le 0$

Выражение $(x + 2)^2$ всегда неотрицательно (то есть $\ge 0$).

Неравенство выполняется в двух случаях:

1. Если $(x + 2)^2 = 0$, то есть при $x = -2$. В этом случае левая часть неравенства обращается в ноль, и неравенство $0 \le 0$ выполняется. Значит, $x = -2$ является решением.

2. Если $(x + 2)^2 > 0$ (то есть $x \ne -2$), то можно разделить обе части неравенства на это положительное выражение, не меняя знака:

$(x - 1)(x - 2) \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни левой части: $x=1$ и $x=2$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала. График функции $y = (x - 1)(x - 2)$ — парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неположительные значения между корнями.

Следовательно, решение этого неравенства — отрезок $[1, 2]$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in \{-2\} \cup [1, 2]$.

2)

Решим неравенство $(x^3 - 4x)(x^2 + 2x - 8)(x^2 + 7x + 10) \le 0$.

Разложим каждый из трех множителей на линейные множители:

$x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)$

$x^2 + 2x - 8$: корни $2$ и $-4$, поэтому $(x - 2)(x + 4)$.

$x^2 + 7x + 10$: корни $-2$ и $-5$, поэтому $(x + 2)(x + 5)$.

Подставим разложения в неравенство:

$x(x - 2)(x + 2)(x - 2)(x + 4)(x + 2)(x + 5) \le 0$

Сгруппируем одинаковые множители:

$x(x + 4)(x + 5)(x - 2)^2(x + 2)^2 \le 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Корни левой части: $0, -4, -5, 2, -2$.

Корни $x=2$ и $x=-2$ имеют четную кратность (2), поэтому при переходе через эти точки на числовой оси знак выражения меняться не будет. Корни $x=0$, $x=-4$, $x=-5$ имеют нечетную кратность (1), и при переходе через них знак будет меняться.

Расположим корни на числовой оси: $-5, -4, -2, 0, 2$.

Определим знак на крайнем правом интервале $(2, \infty)$, например, при $x=3$: $3(7)(8)(1)^2(5)^2 > 0$. Знак «+».

Двигаясь справа налево, расставим знаки на остальных интервалах:

• $(2, \infty)$: +
• $(0, 2)$: + (при переходе через $x=2$ кратность четная)
• $(-2, 0)$: - (при переходе через $x=0$ кратность нечетная)
• $(-4, -2)$: - (при переходе через $x=-2$ кратность четная)
• $(-5, -4)$: + (при переходе через $x=-4$ кратность нечетная)
• $(-\infty, -5)$: - (при переходе через $x=-5$ кратность нечетная)

Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это интервалы со знаком «-» и точки, в которых выражение равно нулю.

Интервалы со знаком «-»: $(-\infty, -5)$ и $(-4, -2) \cup (-2, 0)$, что можно записать как $(-4, 0)$ за исключением точки -2.

Точки, где выражение равно нулю: $x = -5, -4, -2, 0, 2$.

Объединяя интервалы и точки: $(-\infty, -5] \cup [-4, 0]$. Точка $x=2$ также является решением, но не входит в эти промежутки, поэтому добавляем её отдельно.

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [-4, 0] \cup \{2\}$.

3)

Решим неравенство $\frac{(x^2 - 10x + 21)(x^2 - 6x - 7)}{(x^2 + 5x + 6)(x^2 - 4)} \le 0$.

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

Числитель:

$x^2 - 10x + 21 = (x - 3)(x - 7)$

$x^2 - 6x - 7 = (x - 7)(x + 1)$

Знаменатель:

$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

Неравенство приобретает вид:

$\frac{(x - 3)(x - 7)(x - 7)(x + 1)}{(x + 2)(x + 3)(x - 2)(x + 2)} \le 0$

$\frac{(x + 1)(x - 3)(x - 7)^2}{(x + 3)(x - 2)(x + 2)^2} \le 0$

Решим методом интервалов. Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, т.е. $x \ne -3$, $x \ne 2$, $x \ne -2$. Эти точки будут "выколотыми" на числовой оси.

Нули числителя (точки, где дробь равна 0): $x = -1, x = 3, x = 7$. Эти точки будут "закрашенными".

Корни $x=7$ и $x=-2$ имеют четную кратность, при переходе через них знак не меняется.

Расположим все точки на числовой оси: $-3, -2, -1, 2, 3, 7$.

Определим знак на крайнем правом интервале $(7, \infty)$, например, при $x=8$: $\frac{(+)(+)(+)^2}{(+)(+)(+)^2} > 0$. Знак «+».

Двигаясь справа налево, расставим знаки:

• $(7, \infty)$: +
• $(3, 7)$: + (при переходе через $x=7$ кратность четная)
• $(2, 3)$: - (при переходе через $x=3$ кратность нечетная)
• $(-1, 2)$: + (при переходе через $x=2$ кратность нечетная)
• $(-2, -1)$: - (при переходе через $x=-2$ кратность четная)
• $(-3, -2)$: - (при переходе через $x=-3$ кратность нечетная)
• $(-\infty, -3)$: + (при переходе через $x=-3$ кратность нечетная)

Нам нужны промежутки со знаком «-», а также нули числителя.

Промежутки: $(-3, -2) \cup (-2, -1) \cup (2, 3)$.

Нули числителя: $x = -1, x = 3, x = 7$.

Объединяем: включаем $x=-1$ и $x=3$ в концы соответствующих интервалов. Точка $x=7$ является изолированным решением.

Ответ: $x \in (-3, -2) \cup (-2, -1] \cup (2, 3] \cup \{7\}$.

4)

Решим неравенство $\frac{|x - 5|^5 |x - 2|}{(1 - x)^3 (x + 4)} \le 0$.

ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $(1 - x)^3 (x + 4) \ne 0$, откуда $x \ne 1$ и $x \ne -4$.

Числитель $|x - 5|^5 |x - 2|$ является произведением модулей (в степенях) и поэтому всегда неотрицателен ( $\ge 0$ ).

Дробь будет меньше или равна нулю в двух случаях:

1. Дробь равна нулю. Это возможно, только если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$|x - 5|^5 |x - 2| = 0 \implies x - 5 = 0$ или $x - 2 = 0$.
Получаем $x = 5$ и $x = 2$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ, значит, являются решениями.

2. Дробь строго меньше нуля. Так как числитель всегда неотрицателен, это возможно, только если числитель строго положителен, а знаменатель строго отрицателен.
Числитель $> 0$ при $x \ne 5$ и $x \ne 2$.
Знаменатель $(1 - x)^3 (x + 4) < 0$.

Решим неравенство $(1 - x)^3 (x + 4) < 0$.
Вынесем минус из первой скобки: $-(x - 1)^3 (x + 4) < 0$.
Умножим на $-1$ и сменим знак неравенства: $(x - 1)^3 (x + 4) > 0$.

Решим методом интервалов. Корни: $x=1$ и $x=-4$. Оба корня имеют нечетную кратность, поэтому знак при переходе через них меняется.

На интервале $(1, \infty)$ выражение положительно.
На интервале $(-4, 1)$ выражение отрицательно.
На интервале $(-\infty, -4)$ выражение положительно.

Решением неравенства $(x - 1)^3 (x + 4) > 0$ является объединение $(-\infty, -4) \cup (1, \infty)$.

Теперь объединим решения из п.1 и п.2.
Решения из п.1: $x = 2$ и $x = 5$.
Решения из п.2: $x \in (-\infty, -4) \cup (1, \infty)$.

Так как точки $2$ и $5$ принадлежат интервалу $(1, \infty)$, они уже включены в это множество. Таким образом, итоговым решением будет объединение интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (1, \infty)$.