Номер 9.27, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.27, страница 98.

Условие.

9.27. Найдите множество решений неравенства в зависимости от значения параметра $a$:

1) $|x-a|(5x^2-2x-3) < 0;$

2) $|x-a|(5x^2-2x-3) \le 0.$

Решение.

1)

Рассмотрим неравенство $|x - a|(5x^2 - 2x - 3) < 0$.

Поскольку выражение $|x - a|$ всегда неотрицательно (т.е. $|x - a| \ge 0$), данное неравенство может выполняться только тогда, когда оба множителя удовлетворяют определенным условиям. Для того чтобы произведение было строго отрицательным, необходимо, чтобы один множитель был строго положительным, а другой — строго отрицательным.

Так как $|x - a| \ge 0$, для выполнения неравенства требуется, чтобы $|x - a| > 0$ и $5x^2 - 2x - 3 < 0$.

Это равносильно системе:

$ \begin{cases} x - a \neq 0 \\ 5x^2 - 2x - 3 < 0 \end{cases} $

Из первого условия получаем $x \neq a$.

Решим второе неравенство: $5x^2 - 2x - 3 < 0$.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2 - 2x - 3 = 0$.

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{2 - 8}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -0.6$ и $x_2 = \frac{2 + 8}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$.

Графиком функции $y = 5x^2 - 2x - 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство $5x^2 - 2x - 3 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $x \in (-0.6; 1)$.

Теперь объединим оба условия: $x \in (-0.6; 1)$ и $x \neq a$.

Множество решений зависит от того, попадает ли значение параметра $a$ в интервал $(-0.6; 1)$.

• Если $a$ не принадлежит интервалу $(-0.6; 1)$, то есть $a \le -0.6$ или $a \ge 1$, то условие $x \neq a$ не исключает ни одной точки из интервала $(-0.6; 1)$. В этом случае решением является весь интервал $(-0.6; 1)$.
• Если $a$ принадлежит интервалу $(-0.6; 1)$, то есть $-0.6 < a < 1$, то значение $x=a$ необходимо исключить из множества решений. В этом случае решением будет объединение двух интервалов: $(-0.6; a) \cup (a; 1)$.

Ответ: если $a \in (-0.6; 1)$, то $x \in (-0.6; a) \cup (a; 1)$; если $a \in (-\infty; -0.6] \cup [1; +\infty)$, то $x \in (-0.6; 1)$.

2)

Рассмотрим неравенство $|x - a|(5x^2 - 2x - 3) \le 0$.

Произведение двух множителей меньше или равно нулю. Поскольку первый множитель $|x - a|$ всегда неотрицателен, это неравенство выполняется в двух случаях:

1. Произведение равно нулю. Это происходит, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$|x - a| = 0 \implies x = a$.

$5x^2 - 2x - 3 = 0 \implies x_1 = -0.6$, $x_2 = 1$.

Таким образом, $x = a$, $x = -0.6$ и $x = 1$ являются решениями.

2. Произведение строго отрицательно: $|x - a|(5x^2 - 2x - 3) < 0$.

Как мы нашли в пункте 1), это неравенство выполняется, когда $x \in (-0.6; 1)$ и $x \neq a$.

Объединим решения из обоих случаев. Множество решений — это объединение множества точек, где выражение равно нулю, и интервала, где оно строго отрицательно.

То есть, $x \in ([-0.6; 1] \setminus \{a\}) \cup \{a, -0.6, 1\}$.

Это объединение можно упростить до $[-0.6; 1] \cup \{a\}$.

Рассмотрим, как это множество зависит от значения параметра $a$.

• Если $a$ принадлежит отрезку $[-0.6; 1]$, то есть $-0.6 \le a \le 1$, то точка $a$ уже содержится в этом отрезке. Объединение отрезка с его же точкой дает сам отрезок. В этом случае решением является $x \in [-0.6; 1]$.
• Если $a$ не принадлежит отрезку $[-0.6; 1]$, то есть $a < -0.6$ или $a > 1$, то решением будет объединение отрезка $[-0.6; 1]$ и изолированной точки $a$.

Ответ: если $a \in [-0.6; 1]$, то $x \in [-0.6; 1]$; если $a \in (-\infty; -0.6) \cup (1; +\infty)$, то $x \in [-0.6; 1] \cup \{a\}$.