Номер 10.11, страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 10. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 10.11, страница 111.

Условие.

10.11. Постройте график уравнения:

1) $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$;

2) $(3x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$;

3) $(|x| - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$;

4) $(|x| - 2)^2 + (|y| - 1)^2 = 9$.

Решение.

1) $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$

Данное уравнение является каноническим уравнением окружности вида $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

В данном случае центр окружности находится в точке с координатами $(a, b) = (2, 1)$, а квадрат радиуса $R^2 = 9$.

Следовательно, радиус окружности $R = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке (2, 1) и радиусом 3.

2) $(3x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$

Для анализа этого уравнения преобразуем его к каноническому виду. Вынесем множитель 3 из скобки в первом слагаемом:

$(3(x - \frac{2}{3}))^2 + (y - 1)^2 = 9$

$9(x - \frac{2}{3})^2 + (y - 1)^2 = 9$

Теперь разделим обе части уравнения на 9:

$\frac{9(x - \frac{2}{3})^2}{9} + \frac{(y - 1)^2}{9} = \frac{9}{9}$

$\frac{(x - \frac{2}{3})^2}{1} + \frac{(y - 1)^2}{9} = 1$

Это каноническое уравнение эллипса $\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$, где $(h, k)$ — центр эллипса, $a$ и $b$ — его полуоси.

Центр эллипса находится в точке $(h, k) = (\frac{2}{3}, 1)$.

Горизонтальная полуось $a = \sqrt{1} = 1$.

Вертикальная полуось $b = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: Графиком уравнения является эллипс с центром в точке $(\frac{2}{3}, 1)$, горизонтальной полуосью длиной 1 и вертикальной полуосью длиной 3.

3) $(|x| - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$

Это уравнение содержит $|x|$, что означает, что график симметричен относительно оси $Oy$. Если точка $(x_0, y_0)$ принадлежит графику, то и точка $(-x_0, y_0)$ также принадлежит ему, так как $(|-x_0| - 2)^2 = (|x_0| - 2)^2$.

Чтобы построить график, сначала рассмотрим случай, когда $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$, и уравнение принимает вид:

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$

Это окружность с центром в $(2, 1)$ и радиусом 3. Мы строим ту часть этой окружности, которая находится в правой полуплоскости ($x \ge 0$).

Затем, используя свойство симметрии, мы отражаем эту часть графика относительно оси $Oy$. Отражение окружности с центром в $(2, 1)$ дает нам окружность с центром в $(-2, 1)$ и тем же радиусом 3. Таким образом, в левой полуплоскости ($x < 0$) график будет частью окружности $(x+2)^2 + (y-1)^2 = 9$.

Итоговый график состоит из двух дуг окружностей.

Ответ: График состоит из двух частей, симметричных относительно оси $Oy$: правой дуги окружности с центром в (2, 1) и радиусом 3 (для $x \ge 0$), и левой дуги окружности с центром в (-2, 1) и радиусом 3 (для $x \le 0$).

4) $(|x| - 2)^2 + (|y| - 1)^2 = 9$

В этом уравнении и $x$, и $y$ находятся под знаком модуля. Это означает, что график симметричен относительно обеих осей координат ($Ox$ и $Oy$), а также относительно начала координат.

Для построения достаточно построить график в первой координатной четверти ($x \ge 0, y \ge 0$) и затем симметрично отразить его в остальные четверти.

В первой четверти $|x| = x$ и $|y| = y$, уравнение принимает вид:

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$

Это часть окружности с центром в $(2, 1)$ и радиусом 3, которая лежит в первой четверти.

Далее, отражаем эту дугу:

• относительно оси $Oy$ во вторую четверть (это будет дуга окружности с центром в $(-2, 1)$);
• относительно оси $Ox$ в четвертую четверть (это будет дуга окружности с центром в $(2, -1)$);
• относительно начала координат в третью четверть (это будет дуга окружности с центром в $(-2, -1)$).

В результате получается фигура, состоящая из четырех дуг окружностей.

Ответ: График состоит из четырех дуг окружностей, симметричных относительно осей координат. В первой четверти ($x \ge 0, y \ge 0$) это дуга окружности $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$. В остальных четвертях находятся дуги, полученные симметричным отражением первой.