Номер 13.30, страница 137 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.30, страница 137.

Условие.

13.30. Найдите все значения параметра $a$, при которых система уравнений$\begin{cases}3y - a\sqrt{x^2 + 1} = 1, \\y + x + \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} = a^2\end{cases}$имеет единственное решение.

Решение.

Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} 3y - a\sqrt{x^2 + 1} = 1, \\ y + x + \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} = a^2 \end{cases}$$

Упростим второе уравнение системы. Для этого преобразуем дробь, умножив числитель и знаменатель на выражение $\sqrt{x^2 + 1} - x$, сопряженное знаменателю.

$\frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} = \frac{\sqrt{x^2 + 1} - x}{(x + \sqrt{x^2 + 1})(\sqrt{x^2 + 1} - x)} = \frac{\sqrt{x^2 + 1} - x}{(\sqrt{x^2 + 1})^2 - x^2} = \frac{\sqrt{x^2 + 1} - x}{x^2 + 1 - x^2} = \sqrt{x^2 + 1} - x$.

Подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

$y + x + (\sqrt{x^2 + 1} - x) = a^2$

$y + \sqrt{x^2 + 1} = a^2$

Теперь исходная система равносильна следующей системе:

$$ \begin{cases} 3y - a\sqrt{x^2 + 1} = 1, \\ y + \sqrt{x^2 + 1} = a^2 \end{cases}$$

Данная система является линейной относительно переменных $y$ и $\sqrt{x^2 + 1}$. Из второго уравнения выразим $y$:

$y = a^2 - \sqrt{x^2 + 1}$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3(a^2 - \sqrt{x^2 + 1}) - a\sqrt{x^2 + 1} = 1$

$3a^2 - 3\sqrt{x^2 + 1} - a\sqrt{x^2 + 1} = 1$

$3a^2 - 1 = (a + 3)\sqrt{x^2 + 1}$

Рассмотрим два случая.

1. Если $a + 3 = 0$, то есть $a = -3$. Уравнение принимает вид $3(-3)^2 - 1 = 0 \cdot \sqrt{x^2 + 1}$, что равносильно $26 = 0$. Это неверное равенство, следовательно, при $a = -3$ система не имеет решений.

2. Если $a \neq -3$, то можно выразить $\sqrt{x^2 + 1}$:

$\sqrt{x^2 + 1} = \frac{3a^2 - 1}{a + 3}$

Обозначим $z = \sqrt{x^2 + 1}$. Заметим, что поскольку $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 1 \ge 1$, и, следовательно, $z = \sqrt{x^2 + 1} \ge 1$.

Из определения $z$ следует, что $x^2 = z^2 - 1$. Количество решений исходной системы для пары $(x, y)$ зависит от количества решений для переменной $x$.

• Если $z < 1$, то $z^2 - 1 < 0$, и уравнение $x^2 = z^2 - 1$ не имеет действительных корней. В этом случае система не имеет решений.
• Если $z = 1$, то $z^2 - 1 = 0$, и уравнение $x^2 = 0$ имеет единственный корень $x = 0$. В этом случае система будет иметь единственное решение, так как для $x=0$ значение $y$ определяется однозначно: $y = a^2 - z = a^2 - 1$.
• Если $z > 1$, то $z^2 - 1 > 0$, и уравнение $x^2 = z^2 - 1$ имеет два различных корня: $x_1 = \sqrt{z^2 - 1}$ и $x_2 = -\sqrt{z^2 - 1}$. Это приведет к двум различным решениям системы: $(\sqrt{z^2 - 1}, a^2 - z)$ и $(-\sqrt{z^2 - 1}, a^2 - z)$.

Таким образом, для того чтобы система имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие $z = 1$.

Подставим $z = 1$ в полученное ранее выражение для $\sqrt{x^2 + 1}$:

$\frac{3a^2 - 1}{a + 3} = 1$

При условии $a \neq -3$, это уравнение равносильно:

$3a^2 - 1 = a + 3$

$3a^2 - a - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения:

$a_1 = \frac{1 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

$a_2 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Оба найденных значения $a$ не равны $-3$, следовательно, они являются искомыми значениями параметра.

Ответ: $a = -1, a = \frac{4}{3}$.