Номер 14.2, страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 14. Системы уравнений (неравенств) как математические модели реальных ситуаций - номер 14.2, страница 141.

Условие.

14.2. Из одного города в другой, расстояние между которыми равно 240 км, выехали одновременно автобус и автомобиль. Автобус прибыл в пункт назначения на 1 ч позже автомобиля. Найдите скорости автомобиля и автобуса, если за 2 ч автобус проезжает на 40 км больше, чем автомобиль за 1 ч.

Решение.

Пусть $v_а$ км/ч — скорость автомобиля, а $v_б$ км/ч — скорость автобуса. Расстояние между городами составляет $S = 240$ км.

Время, которое автомобиль затратил на путь, равно $t_а = \frac{S}{v_а} = \frac{240}{v_а}$ ч. Время, которое автобус затратил на путь, равно $t_б = \frac{S}{v_б} = \frac{240}{v_б}$ ч. По условию, автобус прибыл на 1 час позже автомобиля, следовательно, время автобуса в пути на 1 час больше времени автомобиля:

$\frac{240}{v_б} - \frac{240}{v_а} = 1$

Также из условия известно, что за 2 часа автобус проезжает на 40 км больше, чем автомобиль за 1 час. Расстояние, которое проезжает автобус за 2 часа, равно $2v_б$ км. Расстояние, которое проезжает автомобиль за 1 час, равно $1 \cdot v_а = v_а$ км. Составим второе уравнение:

$2v_б = v_а + 40$

Получили систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} \frac{240}{v_б} - \frac{240}{v_а} = 1 \\ 2v_б = v_а + 40 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $v_а$:

$v_а = 2v_б - 40$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{240}{v_б} - \frac{240}{2v_б - 40} = 1$

Решим полученное уравнение. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $v_б(2v_б - 40)$, при условии, что $v_б \neq 0$ и $v_б \neq 20$:

$240(2v_б - 40) - 240v_б = v_б(2v_б - 40)$

$480v_б - 9600 - 240v_б = 2v_б^2 - 40v_б$

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде:

$240v_б - 9600 = 2v_б^2 - 40v_б$

$2v_б^2 - 280v_б + 9600 = 0$

Разделим обе части на 2 для упрощения:

$v_б^2 - 140v_б + 4800 = 0$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-140)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4800 = 19600 - 19200 = 400$

$\sqrt{D} = 20$

Найдем корни уравнения:

$v_{б1} = \frac{140 - 20}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$v_{б2} = \frac{140 + 20}{2} = \frac{160}{2} = 80$

Мы получили два возможных значения для скорости автобуса. Найдем соответствующую скорость автомобиля для каждого случая.

1. Если скорость автобуса $v_б = 60$ км/ч, то скорость автомобиля:

$v_а = 2 \cdot 60 - 40 = 120 - 40 = 80$ км/ч.

Проверим это решение. Разница во времени: $\frac{240}{60} - \frac{240}{80} = 4 - 3 = 1$ час. Условие выполняется. Расстояния: автобус за 2 ч проедет $2 \cdot 60 = 120$ км, автомобиль за 1 ч проедет $80$ км. Разница $120 - 80 = 40$ км. Условие выполняется. Следовательно, это решение является верным.

2. Если скорость автобуса $v_б = 80$ км/ч, то скорость автомобиля:

$v_а = 2 \cdot 80 - 40 = 160 - 40 = 120$ км/ч.

Проверим это решение. Разница во времени: $\frac{240}{80} - \frac{240}{120} = 3 - 2 = 1$ час. Условие выполняется. Расстояния: автобус за 2 ч проедет $2 \cdot 80 = 160$ км, автомобиль за 1 ч проедет $120$ км. Разница $160 - 120 = 40$ км. Условие выполняется. Следовательно, это решение также является верным.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: скорость автомобиля 80 км/ч и скорость автобуса 60 км/ч, или скорость автомобиля 120 км/ч и скорость автобуса 80 км/ч.