Номер 14.9, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 14. Системы уравнений (неравенств) как математические модели реальных ситуаций - номер 14.9, страница 142.

Условие.

14.9. Расстояние между сёлами $M$ и $N$ равно 36 км. Из села $N$ выехал велосипедист, а через 0,5 ч навстречу ему из села $M$ выехал второй велосипедист, скорость которого на 6 км/ч больше скорости первого. Найдите скорость каждого велосипедиста, если они встретились на середине пути между сёлами $M$ и $N$.

Решение.

Пусть скорость первого велосипедиста, выехавшего из села N, равна $v$ км/ч. По условию, скорость второго велосипедиста, выехавшего из села M, на 6 км/ч больше, следовательно, она составляет $(v + 6)$ км/ч.

Расстояние между сёлами M и N равно 36 км. Велосипедисты встретились на середине пути, это означает, что каждый из них проехал до места встречи половину этого расстояния:

$S = \frac{36}{2} = 18$ км.

Время движения первого велосипедиста до встречи можно найти по формуле $t = \frac{S}{v}$:

$t_1 = \frac{18}{v}$ ч.

Время движения второго велосипедиста до встречи:

$t_2 = \frac{18}{v+6}$ ч.

Второй велосипедист выехал на 0,5 часа позже первого. Это означает, что первый велосипедист был в пути на 0,5 часа дольше, чем второй. Составим уравнение, отражающее эту разницу во времени:

$t_1 - t_2 = 0.5$

Подставим в это уравнение выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{18}{v} - \frac{18}{v+6} = 0.5$

Решим полученное уравнение. Для этого приведём дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+6)$:

$\frac{18(v+6) - 18v}{v(v+6)} = 0.5$

$\frac{18v + 108 - 18v}{v^2 + 6v} = 0.5$

$\frac{108}{v^2 + 6v} = 0.5$

Воспользуемся свойством пропорции, при этом $v > 0$, так как это скорость:

$108 = 0.5 \cdot (v^2 + 6v)$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$216 = v^2 + 6v$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v^2 + 6v - 216 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-216) = 36 + 864 = 900$

Найдём корни уравнения:

$v_1 = \frac{-6 + \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 30}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$v_2 = \frac{-6 - \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 30}{2} = \frac{-36}{2} = -18$

Скорость не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $v_2 = -18$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость первого велосипедиста равна 12 км/ч.

Теперь найдём скорость второго велосипедиста:

$v + 6 = 12 + 6 = 18$ км/ч.

Ответ: скорость первого велосипедиста 12 км/ч, скорость второго велосипедиста 18 км/ч.