Номер 14.7, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 14. Системы уравнений (неравенств) как математические модели реальных ситуаций - номер 14.7, страница 142.

Условие.

14.7. Теплоход проходит путь от пункта A до пункта B за 3 ч, а возвращается назад за 4 ч. За какое время проплывут путь от пункта А до пункта В плоты?

Решение.

Обозначим расстояние между пунктами A и B как $S$, собственную скорость теплохода (скорость в стоячей воде) как $v_т$, а скорость течения реки как $v_р$.

Поскольку путь из пункта А в пункт В занимает меньше времени (3 ч), чем обратный путь (4 ч), можно сделать вывод, что теплоход плывет из А в В по течению реки, а из В в А — против течения.

Скорость движения теплохода по течению (из А в В) равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_т + v_р$.

Время в пути $t_1 = 3$ ч. Расстояние $S$ можно выразить формулой:

$S = (v_т + v_р) \cdot t_1 = (v_т + v_р) \cdot 3$

Отсюда скорость движения по течению равна: $v_т + v_р = \frac{S}{3}$.

Скорость движения теплохода против течения (из В в А) равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_т - v_р$.

Время в пути $t_2 = 4$ ч. Расстояние $S$ также можно выразить как:

$S = (v_т - v_р) \cdot t_2 = (v_т - v_р) \cdot 4$

Отсюда скорость движения против течения равна: $v_т - v_р = \frac{S}{4}$.

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} v_т + v_р = \frac{S}{3} \\ v_т - v_р = \frac{S}{4} \end{cases}$

Плот не имеет собственной скорости и движется со скоростью течения реки, то есть $v_р$. Нам нужно найти время $t_п$, за которое плот проплывет расстояние $S$ из пункта А в пункт В. Это время равно:

$t_п = \frac{S}{v_р}$

Чтобы найти $v_р$, вычтем второе уравнение системы из первого:

$(v_т + v_р) - (v_т - v_р) = \frac{S}{3} - \frac{S}{4}$

$v_т + v_р - v_т + v_р = S \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})$

$2v_р = S \cdot (\frac{4 - 3}{12})$

$2v_р = \frac{S}{12}$

Отсюда находим скорость течения реки:

$v_р = \frac{S}{24}$

Теперь можем рассчитать время движения плота:

$t_п = \frac{S}{v_р} = \frac{S}{\frac{S}{24}} = S \cdot \frac{24}{S} = 24$ часа.

Ответ: 24 ч.