Номер 13.29, страница 137 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.29, страница 137.

Условие.

13.29. Найдите все значения параметра $a$, при которых система уравнений

$\begin{cases} x^2 - (2a+1)x + a^2 - 3 = y, \\ y^2 - (2a+1)y + a^2 - 3 = x \end{cases}$ имеет единственное решение.

Решение.

Данная система уравнений является симметричной относительно переменных $x$ и $y$. Это означает, что если пара $(x_0, y_0)$ является решением системы, то и пара $(y_0, x_0)$ также является ее решением.

Для того чтобы система имела единственное решение, необходимо, чтобы это решение было симметричным, то есть $x = y$. Если бы решение $(x_0, y_0)$ было таким, что $x_0 \neq y_0$, то пара $(y_0, x_0)$ также была бы решением, и так как $(x_0, y_0) \neq (y_0, x_0)$, система имела бы как минимум два решения. Таким образом, единственное решение может существовать только при условии $x = y$.

1. Рассмотрим случай $x = y$.

Подставим $y = x$ в любое из уравнений системы (они становятся идентичными):

$x^2 - (2a + 1)x + a^2 - 3 = x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - (2a + 1)x - x + a^2 - 3 = 0$

$x^2 - (2a + 2)x + a^2 - 3 = 0$

Чтобы исходная система имела единственное решение, необходимо, чтобы это квадратное уравнение имело ровно один корень. Квадратное уравнение имеет один корень, когда его дискриминант равен нулю.

Найдем дискриминант $D_1$ этого уравнения:

$D_1 = (-(2a + 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 3)$

$D_1 = (2(a + 1))^2 - 4(a^2 - 3)$

$D_1 = 4(a^2 + 2a + 1) - 4a^2 + 12$

$D_1 = 4a^2 + 8a + 4 - 4a^2 + 12$

$D_1 = 8a + 16$

Приравняем дискриминант к нулю:

$8a + 16 = 0$

$8a = -16$

$a = -2$

Таким образом, при $a = -2$ существует ровно одно решение вида $(x, x)$.

2. Проверим отсутствие решений при $x \neq y$.

Теперь нужно убедиться, что при найденном значении $a = -2$ не существует других решений, у которых $x \neq y$.

Вычтем второе уравнение системы из первого:

$(x^2 - y^2) - (2a + 1)(x - y) = y - x$

$(x - y)(x + y) - (2a + 1)(x - y) + (x - y) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - y)$:

$(x - y)(x + y - (2a + 1) + 1) = 0$

$(x - y)(x + y - 2a) = 0$

Поскольку мы рассматриваем случай $x \neq y$, то $x - y \neq 0$. Следовательно, должно выполняться равенство:

$x + y - 2a = 0 \implies x + y = 2a$

Теперь сложим два уравнения исходной системы:

$x^2 + y^2 - (2a + 1)(x + y) + 2(a^2 - 3) = x + y$

$x^2 + y^2 - (2a + 2)(x + y) + 2a^2 - 6 = 0$

Подставим $x + y = 2a$ в это уравнение:

$x^2 + y^2 - (2a + 2)(2a) + 2a^2 - 6 = 0$

$x^2 + y^2 - 4a^2 - 4a + 2a^2 - 6 = 0$

$x^2 + y^2 = 2a^2 + 4a + 6$

Используя $x + y = 2a$, найдем произведение $xy$:

$xy = \frac{(x+y)^2 - (x^2+y^2)}{2} = \frac{(2a)^2 - (2a^2 + 4a + 6)}{2}$

$xy = \frac{4a^2 - 2a^2 - 4a - 6}{2} = \frac{2a^2 - 4a - 6}{2} = a^2 - 2a - 3$

Числа $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ (по теореме Виета):

$t^2 - (2a)t + (a^2 - 2a - 3) = 0$

Решения с $x \neq y$ существуют тогда и только тогда, когда это уравнение имеет два различных действительных корня, то есть когда его дискриминант $D_2$ строго больше нуля.

$D_2 = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 2a - 3)$

$D_2 = 4a^2 - 4a^2 + 8a + 12$

$D_2 = 8a + 12$

Чтобы решений с $x \neq y$ не существовало, необходимо, чтобы $D_2 \leq 0$.

$8a + 12 \leq 0$

$8a \leq -12$

$a \leq -\frac{12}{8}$

$a \leq -\frac{3}{2}$

3. Итоговый вывод.

Система имеет единственное решение, если одновременно выполняются два условия:

1) Уравнение для случая $x=y$ имеет ровно один корень, что происходит при $a = -2$.

2) Не существует решений для случая $x \neq y$, что происходит при $a \leq -\frac{3}{2}$.

Проверим, удовлетворяет ли значение $a=-2$ второму условию:

$-2 \leq -\frac{3}{2}$

$-\frac{4}{2} \leq -\frac{3}{2}$

Неравенство верное. Следовательно, при $a = -2$ система будет иметь ровно одно решение (когда $x=y$) и не будет иметь решений, где $x \neq y$.

Ответ: $a = -2$