Номер 14.19, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 14. Системы уравнений (неравенств) как математические модели реальных ситуаций - номер 14.19, страница 143.

Условие.

14.19. Два спортсмена выбегают одновременно: первый из пункта $A$ в пункт $B$, второй из пункта $B$ в пункт $A$. Они бегут с разными скоростями и встречаются на расстоянии 300 м от пункта $A$. Пробежав дорожку $AB$ до конца, каждый из них сразу поворачивает обратно и встречает другого на расстоянии 400 м от пункта $B$. Найдите длину дорожки $AB$.

Решение.

Пусть $L$ — длина дорожки $AB$ в метрах, $v_1$ — скорость первого спортсмена (из $A$ в $B$), а $v_2$ — скорость второго спортсмена (из $B$ в $A$).

1. Первая встреча.

Спортсмены бегут навстречу друг другу. К моменту первой встречи они находятся в пути одинаковое время $t_1$.
Первый спортсмен пробежал расстояние $S_1 = 300$ м.
Второй спортсмен пробежал расстояние $S_2 = L - 300$ м.
Так как время одинаковое, отношение пройденных расстояний равно отношению их скоростей:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{S_1}{S_2} = \frac{300}{L - 300}$

2. Вторая встреча.

После первой встречи каждый спортсмен добегает до конца дорожки и поворачивает обратно. Рассмотрим весь путь, пройденный спортсменами с самого начала до момента второй встречи. К моменту первой встречи они вместе пробежали расстояние, равное $L$.
Чтобы встретиться во второй раз, им нужно после первой встречи суммарно пробежать расстояние, равное $2L$. Таким образом, к моменту второй встречи общее расстояние, которое пробежали оба спортсмена, составляет $L + 2L = 3L$.

Теперь найдем, какое расстояние пробежал каждый из них к моменту второй встречи. Вторая встреча произошла на расстоянии 400 м от пункта $B$.

Первый спортсмен (выехавший из $A$) пробежал всю дорожку от $A$ до $B$ (это $L$ метров) и повернул обратно, пробежав еще 400 м от $B$. Его общий путь $S'_1$ равен:

$S'_1 = L + 400$

Второй спортсмен (выехавший из $B$) пробежал всю дорожку от $B$ до $A$ (это $L$ метров) и повернул обратно, пробежав от $A$ до точки встречи. Расстояние от $A$ до точки встречи равно $L - 400$ м. Его общий путь $S'_2$ равен:

$S'_2 = L + (L - 400) = 2L - 400$

С момента старта до второй встречи прошло одинаковое время $t_2$ для обоих спортсменов. Поэтому отношение их скоростей также равно отношению пройденных ими путей:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{S'_1}{S'_2} = \frac{L + 400}{2L - 400}$

3. Составление и решение уравнения.

Мы получили два выражения для отношения скоростей $\frac{v_1}{v_2}$. Приравняем их:

$\frac{300}{L - 300} = \frac{L + 400}{2L - 400}$

Решим это уравнение относительно $L$, используя свойство пропорции (перекрестное умножение):

$300 \cdot (2L - 400) = (L + 400) \cdot (L - 300)$

$600L - 120000 = L^2 - 300L + 400L - 120000$

$600L - 120000 = L^2 + 100L - 120000$

Прибавим 120000 к обеим частям уравнения:

$600L = L^2 + 100L$

Перенесем все члены в одну сторону:

$L^2 + 100L - 600L = 0$

$L^2 - 500L = 0$

Вынесем $L$ за скобки:

$L(L - 500) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $L_1 = 0$ и $L_2 = 500$. Поскольку длина дорожки не может быть равна нулю, корень $L_1 = 0$ не имеет физического смысла. Следовательно, длина дорожки $AB$ равна 500 м.

Ответ: 500 м.