Номер 14.22, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 14. Системы уравнений (неравенств) как математические модели реальных ситуаций - номер 14.22, страница 144.

Условие.

14.22. Из пункта A в пункт B вышел пешеход. Вслед за ним через 2 ч из пункта A выехал велосипедист, а ещё через 30 мин — мотоциклист. Через несколько минут после выезда мотоциклиста оказалось, что до этого момента все трое преодолели одинаковую часть пути от пункта A до пункта B. Пешеход прибыл в пункт B на 1 ч позднее мотоциклиста. На сколько минут велосипедист прибыл в пункт B раньше пешехода?

Решение.

Пусть $S$ — расстояние от пункта А до пункта В. Обозначим скорости пешехода, велосипедиста и мотоциклиста как $v_p$, $v_c$ и $v_m$ соответственно. Тогда время, которое каждый из них затратит на весь путь, равно:

$T_p = S/v_p$

$T_c = S/v_c$

$T_m = S/v_m$

Примем время старта пешехода за $t=0$. Тогда велосипедист стартует в $t=2$ ч, а мотоциклист — в $t = 2 \text{ ч} + 30 \text{ мин} = 2,5$ ч.

Пусть в некоторый момент времени $t_{key}$ (отсчитываемый от старта пешехода) все трое преодолели одинаковую часть пути. Это означает, что они прошли одинаковое расстояние $s$. Время, которое каждый из них был в пути до этого момента:

• Время пешехода: $t_p = t_{key}$
• Время велосипедиста: $t_c = t_{key} - 2$
• Время мотоциклиста: $t_m = t_{key} - 2,5$

Так как пройденное расстояние $s$ для всех одинаково, имеем:

$s = v_p \cdot t_{key} = v_c \cdot (t_{key} - 2) = v_m \cdot (t_{key} - 2,5)$

Из этого соотношения можно выразить отношение скоростей:

$v_p : v_c : v_m = \frac{1}{t_{key}} : \frac{1}{t_{key} - 2} : \frac{1}{t_{key} - 2,5}$

Поскольку полное время в пути $T$ обратно пропорционально скорости ($T = S/v$), то отношение полных времен движения будет:

$T_p : T_c : T_m = \frac{1}{v_p} : \frac{1}{v_c} : \frac{1}{v_m} = t_{key} : (t_{key} - 2) : (t_{key} - 2,5)$

Это означает, что существует коэффициент пропорциональности $k$, такой что:

$T_p = k \cdot t_{key}$

$T_c = k \cdot (t_{key} - 2)$

$T_m = k \cdot (t_{key} - 2,5)$

Теперь воспользуемся условием о времени прибытия. Время прибытия каждого в пункт В (в часах от момента старта пешехода):

• Пешеход: $t_{arr, p} = 0 + T_p = T_p$
• Велосипедист: $t_{arr, c} = 2 + T_c$
• Мотоциклист: $t_{arr, m} = 2,5 + T_m$

По условию, пешеход прибыл в пункт В на 1 час позднее мотоциклиста:

$t_{arr, p} = t_{arr, m} + 1$

$T_p = (2,5 + T_m) + 1$

$T_p = T_m + 3,5$

Подставим в это уравнение выражения для $T_p$ и $T_m$ через $k$ и $t_{key}$:

$k \cdot t_{key} = k \cdot (t_{key} - 2,5) + 3,5$

$k \cdot t_{key} = k \cdot t_{key} - 2,5k + 3,5$

$2,5k = 3,5$

$k = \frac{3,5}{2,5} = \frac{35}{25} = \frac{7}{5}$

Нам нужно найти, на сколько минут велосипедист прибыл в пункт В раньше пешехода. Это разница их времен прибытия:

$\Delta t = t_{arr, p} - t_{arr, c} = T_p - (2 + T_c) = (T_p - T_c) - 2$

Найдем разницу $(T_p - T_c)$:

$T_p - T_c = k \cdot t_{key} - k \cdot (t_{key} - 2) = k \cdot (t_{key} - t_{key} + 2) = 2k$

$T_p - T_c = 2 \cdot \frac{7}{5} = \frac{14}{5} = 2,8$ часа.

Теперь вычислим искомую разницу во времени прибытия:

$\Delta t = 2,8 - 2 = 0,8$ часа.

Переведем это время в минуты:

$0,8 \text{ ч} \times 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} = 48$ минут.

Ответ: 48 минут.