Номер 14.18, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 14. Системы уравнений (неравенств) как математические модели реальных ситуаций - номер 14.18, страница 143.

Условие.

14.18. Проволочной сеткой длиной 600 м надо огородить участок земли прямоугольной формы. При каких размерах участка его площадь будет наибольшей?

Решение.

Пусть стороны прямоугольного участка равны $x$ и $y$ метров.

Длина проволочной сетки — это периметр участка. Периметр $P$ прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(x + y)$. По условию задачи, $P = 600$ м.

Составим уравнение: $2(x + y) = 600$.

Разделив обе части уравнения на 2, получим: $x + y = 300$.

Площадь $S$ прямоугольного участка вычисляется по формуле $S = x \cdot y$. Нам необходимо найти размеры участка, при которых площадь будет наибольшей.

Для этого выразим одну переменную через другую из уравнения периметра, например, $y$ через $x$:

$y = 300 - x$.

Теперь подставим это выражение в формулу площади, чтобы получить функцию площади, зависящую от одной переменной $x$:

$S(x) = x \cdot (300 - x) = 300x - x^2$.

Функция $S(x) = -x^2 + 300x$ является квадратичной. Её график — парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицателен). Наибольшее значение такая функция принимает в вершине параболы.

Абсцисса вершины параболы $ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Для нашей функции $S(x) = -x^2 + 300x$ коэффициенты $a = -1$ и $b = 300$. Найдем $x_0$:

$x_0 = -\frac{300}{2 \cdot (-1)} = -\frac{300}{-2} = 150$.

Это означает, что при длине одной из сторон $x = 150$ м площадь будет максимальной.

Найдем длину второй стороны $y$:

$y = 300 - x = 300 - 150 = 150$.

Таким образом, для того чтобы площадь участка была наибольшей, он должен быть квадратом со стороной 150 метров.

Ответ: 150 м и 150 м.