Номер 14.21, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 14. Системы уравнений (неравенств) как математические модели реальных ситуаций - номер 14.21, страница 144.

Условие.

14.21. Из пункта A в пункт B через равные промежутки времени отправляются три автомобиля. В пункт B они прибывают одновременно, потом выезжают в пункт C, находящийся на расстоянии 120 км от пункта B. Первый автомобиль прибывает туда через час после второго. Третий автомобиль, прибыв в пункт C, сразу поворачивает обратно и на расстоянии 40 км от пункта C встречает первый. Найдите скорость первого автомобиля.

Решение.

Пусть $v_1$, $v_2$ и $v_3$ — скорости первого, второго и третьего автомобилей соответственно, измеряемые в км/ч.

Рассмотрим движение автомобилей на участке от пункта В до пункта С. Длина этого участка составляет 120 км. Все три автомобиля выезжают из пункта В одновременно.

Из условия известно, что первый автомобиль прибывает в пункт С на 1 час позже второго. Время, затраченное первым автомобилем на путь из В в С, равно $t_1 = \frac{120}{v_1}$, а вторым — $t_2 = \frac{120}{v_2}$. Таким образом, мы можем составить первое уравнение:$$ \frac{120}{v_1} = \frac{120}{v_2} + 1 $$

Третий автомобиль, прибыв в пункт С, сразу поворачивает обратно и встречает первый автомобиль на расстоянии 40 км от пункта С. Это означает, что к моменту встречи первый автомобиль проехал расстояние $120 - 40 = 80$ км от пункта В, а третий автомобиль проехал $120$ км до пункта С и еще $40$ км обратно, то есть всего $120 + 40 = 160$ км. Поскольку они выехали из В одновременно, время, которое они были в пути до встречи, одинаково. Обозначим это время как $t_{встр}$.$$ t_{встр} = \frac{80}{v_1} = \frac{160}{v_3} $$Из этого соотношения получаем связь между скоростями первого и третьего автомобилей:$$ 80v_3 = 160v_1 \implies v_3 = 2v_1 $$

Теперь рассмотрим движение автомобилей на участке от пункта А до пункта В. Пусть расстояние от А до В равно $S_{AB}$, а промежуток времени между отправлениями автомобилей равен $\Delta t$. Первый автомобиль выехал в момент времени 0, второй — в момент $\Delta t$, а третий — в момент $2\Delta t$. Все они прибыли в пункт В одновременно, скажем, в момент времени $T$. Тогда время, затраченное на путь от А до В, для каждого автомобиля составляет:

• Первый: $T_{AB_1} = T - 0 = \frac{S_{AB}}{v_1}$
• Второй: $T_{AB_2} = T - \Delta t = \frac{S_{AB}}{v_2}$
• Третий: $T_{AB_3} = T - 2\Delta t = \frac{S_{AB}}{v_3}$

Из этих равенств видно, что времена в пути $T_{AB_1}$, $T_{AB_2}$ и $T_{AB_3}$ образуют арифметическую прогрессию с разностью $-\Delta t$. Следовательно, для них выполняется свойство арифметической прогрессии: $T_{AB_2} = \frac{T_{AB_1} + T_{AB_3}}{2}$, или $2T_{AB_2} = T_{AB_1} + T_{AB_3}$.

Подставим в это соотношение выражения для времени через расстояние и скорость:$$ 2 \frac{S_{AB}}{v_2} = \frac{S_{AB}}{v_1} + \frac{S_{AB}}{v_3} $$Поскольку $S_{AB} \neq 0$, можно разделить обе части уравнения на $S_{AB}$:$$ \frac{2}{v_2} = \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_3} $$

Теперь у нас есть система из трех уравнений для нахождения трех неизвестных скоростей:

1. $\frac{120}{v_1} = \frac{120}{v_2} + 1$
2. $v_3 = 2v_1$
3. $\frac{2}{v_2} = \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_3}$

Подставим второе уравнение в третье, чтобы выразить $v_2$ через $v_1$:$$ \frac{2}{v_2} = \frac{1}{v_1} + \frac{1}{2v_1} $$$$ \frac{2}{v_2} = \frac{2+1}{2v_1} = \frac{3}{2v_1} $$$$ 4v_1 = 3v_2 \implies v_2 = \frac{4}{3}v_1 $$

Наконец, подставим полученное выражение для $v_2$ в первое уравнение, чтобы найти $v_1$:$$ \frac{120}{v_1} = \frac{120}{\frac{4}{3}v_1} + 1 $$$$ \frac{120}{v_1} = \frac{120 \cdot 3}{4v_1} + 1 $$$$ \frac{120}{v_1} = \frac{360}{4v_1} + 1 $$$$ \frac{120}{v_1} = \frac{90}{v_1} + 1 $$$$ \frac{120}{v_1} - \frac{90}{v_1} = 1 $$$$ \frac{30}{v_1} = 1 $$$$ v_1 = 30 $$Скорость первого автомобиля составляет 30 км/ч.

Ответ: 30 км/ч.